公約数で解答をみていてちょっと分らない部分があったのでご質問させていただきます
- 帰納法での証明の一部分で分からない部分があります。A(n+1)とB(n+1)が互いに素でない場合、それらは1より大きい公約数を持ちます。
- B(n) = A(n+1) - An なので、互いに素でない場合、それらは1より大きい公約数を持つことになります。
- この部分が分からない理由は、約数の定義を理解していないためかもしれません。
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公約数で
解答をみていてちょっと分らない部分があったのでご質問させていただきます。(表記しづらいので、数列Anで第n+1項を A(n+1)と表します)分らないのは、帰納法での証明の一部分です。また【 】の中は前問で証明されていたり条件として成り立っているとします。 【A(n+1) = An+Bn , B(n+1) = An … (1) An,Bnは自然数で互いに素 … (2) 】 (1)、(2)からA(n+1)とB(n+1)は自然数である。 ここでA(n+1)とB(n+1)が互いに素でないとすると、 A(n+1)とB(n+1)は1より大きい公約数rを持つ。 ________________________(ここまでは分ります) (1)より Bn = A(n+1)-An であるからrはBnの約数でもありrはAnとBn の1より大きい公約数である。 ______________________ この部分が分りません^^;どうしてrはBnの約数でもありrはAnとBnの1より大きい公約数であるのでしょうか?分る方お願いします。
- balanbajp2
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>A(n+1)とB(n+1)は1より大きい公約数rを持つ。 ここから A(n)=B(n+1)もrの倍数です。 つまり、A(n+1)もA(n)もrの倍数です。 よって、 >Bn = A(n+1)-An の右辺はrの倍数からrの倍数を引いたものなので、全体もrの倍数。 つまり、B(n)もrの倍数である事が分かります。 A(n),B(n)はどちらもrの倍数である事が分かりましたから、rはA(n),B(n)の公約数です。rは1より大きいと仮定していたので、 >rはBnの約数でもありrはAnとBnの1より大きい公約数である。 となります。 言葉で説明しましたが、 A(n+1)=r*a(n+1),B(n+1)=r*b(n+1)などとけば、分かりやすいと思います。
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