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プラチカ
プラチカIIICの10番なのですが 数列 ａn+1＝ａn+２ｂn ｂn+1＝ａn＋ｂn となるａnとｂnの最大公約数を出したいのですが、 解説には ａnとｂnの最大公約数は |ａn^2－２ｂn^2|の約数である。 と書かれていました なぜ最大公約数が上式の約数となるのか全くわかりません わかるかた教えてください。お願いいたします。
- bvlgari100
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anとbnの最大公約数をkとすると an=mk,bn=lk (m,lは整数) とかけます。 |an^2-2bn^2|=|(mk)^2-2(lk)^2|=|m^2*k^2-2l^2*k^2|=|k^2*(m^2-2l^2)|=k^2*|m^2-2l^2| となりますので|an^2-2bn^2|はkの倍数になります。
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お礼
ありがとうございました。 すごく分かりやすかったです！