証明の仕方を教えてください。

質問

pを自然数とし、二次方程式x^2-px-1=0の二つの解をα、βとする。
数列{a(n)}をan=α^(n-1)+β^(n-1) (n=1,2,3…)によって定める。

（１）すべての自然数ｎに対し、a(n+2)=pa(n+1)+a(n)が成り立つことを示せ。
（２）すべての自然数ｎに対し、a(n)は自然数であることを示せ。
（３）pが奇数であるとき、すべての自然数ｎに対し、a(n)とa(n+1)の最大公約数は１であることを示せ。

という問題です。
（１）は計算して解けたのですが、（２）（３）をどのように証明したらよいのか分かりません。
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

(2)は、帰納法で示せますよ。
ただし、n＝ kだけを仮定してもダメですね。

(3)は背理法で。
a(n)と a(n+1)が共通因数：k（k≠ 1）をもつと仮定すると、
a(n+2)も kを因数にもつことが漸化式からわかります。
つまり、すべての nについて、a(n)は kを因数にもつことになります。
ところが、a(1)と a(2)を考えてみると・・・

お礼

ありがとうございました＾＾
おかげで解答することができました！

回答No.1

Tacosan

帰納法でいいんじゃない?