二次方程式と数列の性質を証明する方法
- 二次方程式x^2-px-1=0の解の数列{a(n)}の性質を証明します。
- すべての自然数ｎにおいて、a(n+2)=pa(n+1)+a(n)が成り立つことを証明します。
- すべての自然数ｎにおいて、a(n)が自然数であることを証明します。
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証明の仕方を教えてください。
pを自然数とし、二次方程式x^2-px-1=0の二つの解をα、βとする。 数列{a(n)}をan=α^(n-1)+β^(n-1) (n=1,2,3…)によって定める。 （１）すべての自然数ｎに対し、a(n+2)=pa(n+1)+a(n)が成り立つことを示せ。 （２）すべての自然数ｎに対し、a(n)は自然数であることを示せ。 （３）pが奇数であるとき、すべての自然数ｎに対し、a(n)とa(n+1)の最大公約数は１であることを示せ。 という問題です。 （１）は計算して解けたのですが、（２）（３）をどのように証明したらよいのか分かりません。 教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
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こんにちわ。 (2)は、帰納法で示せますよ。 ただし、n＝ kだけを仮定してもダメですね。 (3)は背理法で。 a(n)と a(n+1)が共通因数：k（k≠ 1）をもつと仮定すると、 a(n+2)も kを因数にもつことが漸化式からわかります。 つまり、すべての nについて、a(n)は kを因数にもつことになります。 ところが、a(1)と a(2)を考えてみると・・・
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- Tacosan
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帰納法でいいんじゃない?
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