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エジプトの分数問題に関する質問です。 A（n）は自然数で構成される数列として、 A（１）、ｎ∈Ｎ (1)［ A（n）が偶数のときに A（ｎ＋１）＝A（n）／２ ［ A（n）が奇数のときに A（ｎ＋１）＝３・A（ｎ）＋１ とすると、たとえば、Ａ（１）＝２５ とすると Ａ（１）＝２５ ， Ａ（２）＝７６， Ａ（３）＝３８， Ａ（４）＝１９ (1)の数列はｎを∞ に近づけていくとＡ（ｎ）＝１になることを証明した場合、エジプトの分数問題を解 いたのと同じかそれともまったく関連がないのか皆さんにお聞きしたい。
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今回はコラッツ予想が正しいと仮定すれば、エルディッシュ分数予想が正しいことを実験的に証明してみたいと思います。自信はありませんが。 ⑴ ある奇数の数列 p［n］を考えます p［n］は 奇数でないといけないと仮定します。p［１］をスタート場所と 考えた時、p［１］は奇数であるとします。次の式が成り 立つとします。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１ ① と式をあらわした時、十分に大きな数をLとした時に、 p［L］＝１ となる予想がコラッツ予想だと思っています。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１＝m ② ⑵ こちらの予想はエルディッシュの分数予想で、 a、b、c は任意の自然数を代入可能で、Q［k］は 分数が解ける数で、 Q[k］＝２４・k＋１＝４abcーbーc ③ です。 ここで、m＝ab とおきmの約数を σ（m）で表すと Q[k］＝４mcーcーσ（m）＝（４mー１）cーσ（m）④ となります。ちなみにmは偶数です。 ここで④の式のmは任意の偶数ですので、 m＝３・p［n−１］＋１を代入して計算することが可能で、 計算してみると②と④より Q［k］＝（１２・p［n−１］＋４−１）cーσ（m） ＝３（４・p［nー１］＋１）cーσ（m） ＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m） ⑤ となります。 ここでQ[k］＝２４k＋１、kは自然数です。 Q［k］＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m）＝２４k＋１ ここで、 １２・c・p［n−１］＝２４k ⑥ ３cーσ（m）＝１ ⑦ とおくと、⑦より ３cー１＝σ（m） dをある自然数とすると、 m＝d・（３cー１） ⑧ ⑥より １２・c・p［n−１］＝２４k c・p［n−１］＝２k ⑨ ②、⑧より ３・p［n−１］＋１＝m＝d・（３cー１）となりますので、 d＝２とおけば良いと思います。ですのでmは偶数です。 このことを実験的に確かめてみます。 k＝１８の時は Q［１８］＝２４・１８＋１＝４３３ ⑨より c・p［nー1］＝２・１８ c・p［nー1］＝３６ c＝４、p［nー1］＝９、k＝１８、となり、 m＝d・（３cー１）＝d・１１＝２２ Q[k］＝１２・c・p［nー1］＋３cーσ（m） Q［１８］＝４８・９＋１２ーσ（２２） ＝４３２＋１ ＝４３３ となります。
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式１： P ＋ ｚ ＝ ４ｙ（ｘｚ－１） 式２： P ＋ ａ ＝ （４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） Ｐは ２４ｎ＋１ （ｎは自然数） 型の素数であるとする。 式１の導出：L＝４ｘｙｚ-４ｙ－ｚ M＝ｘｚ－１ のとき ４／Ｌ＝１／ｘｙＬＭ ＋１／ｘｙＬ ＋１／ｙＭ が成り立ちます。 そして、Ｐ＝Ｌとおいて式を変形すれば式１が導かれます。 式２の導出： ４／Ｐ ＝１／（６ｎ＋ｋ） ＋１／Ｈ ＋１／Ｊ ４／Ｐ－１／（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ ＋１／Ｊ Ｐ＝２４ｎ＋１ とおき、 （４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ ＋１／Ｊ ここで、ＨとＪを変形して （４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝（４ｋ－ｄ－１）／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１） ＋ｄ／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１） ６ｎ＋ｋ＝４ｋｄｍ－ｄｍ（ｄ＋１） から ｋ＝ｃ、ｄ＝ａ、ｍ＝ｂ として４を両辺にかけると ２４ｎ＝１６ａｂｃ－４ｃ－４ａｂ（ａ＋１） ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａー１）－ａ－1 ２４ｎ＋１＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） Ｐ＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） となる。 素数Ｐに対して ｚ を動かして式１の解（ｘ、ｙ、ｚ） が存在するか確かめる。もし（ｘ、ｙ、ｚ）が存在するなら素数Ｐ は単位分数分解の解が存在する。 もし、式１の解が存在しないのなら、ａを動かして式２の解 （ａ、ｂ、ｃ）が存在するか確かめる。もし存在するなら素数Ｐは 単位分数の解が存在する。もし、式１と式２の単位分数分解の 解が存在しない場合、そのことを私に教えてほしいのです。 一応素数Ｐがどれぐらい３つの単位分数の解が存在するか 調べてみたのですが、少なくともＰが１０００以下の場合には 解がすべて存在することが調べて分かっています。知りたい のは式１と式２を同時に成り立たせない素数Ｐがあるかという ことが知りたいです。もし、すべての素数で反例がないことが 分かったのならエジプト分数の予想は正しいことになります。 ただ、多分反例が見つかると本人は思っています。 Ｐ＝９３７ の場合（例１） ｚ＝３、Ｐ＋３＝４ｙ（３ｘ－１）＝９４０＝４・５・４７ Ｐ＋３＝４・４７・（３・２－１） （ｘ、ｙ、ｚ）＝（２，４７，３） なので解が存在する。 Ｐ＝１００９ の場合（例２） ａ＝３、Ｐ＋３＝（１２ｂ－１）（４ｃ－４） １０１２＝４・２３・１１＝４（１２ｂ－１）（ｃ－１） （ａ、ｂ、ｃ）＝（３，２，１２）、（３，１，２４） が成り立ち Ｐ＝１００９ も解が存在する。
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あまり説明が上手ではありませんが、証明してみましょう。 素数以外の数は必ず解けるので素数が解けることを証明します。 まず、P が素数だとすると Ｐ = 12n+1 以外の素数はすべて解けるので 素数は p = 12n+1 とします。 L = 4ab-a-1 M = 4ab-a-4 N = ab-1 とすると 4/L = { 1 / abL } + { 1 / ab } + { 1/ bL } 4/M = { 1/ bNM } + { 1/ N } + { 1 / bM } となります。確認してみてください。 p は L = 4ab-a-1 で解けない素数とする。その場合、p=12n+1 とすると M で必ず解けることを証明する。 [ L = 4ab-a-1 ≠ p =12n+1 [ M = 4ab-a-4 p = 12n+1 = 4ab-a-4 b = n+2 4an+4-a = 12n+1 = p a = 3 、b = n+2 となりとけるので 4ab-a-4 で解ける。以上です。 何か質問がありましたら受け付けます。
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補足
まだ研究中で詳しいことはいえませんが、多分たいしたことではないと思うので。 あえていえば、両方の問題は、２＾ｋ・３＾ｍ－１ の形の数は解けるのでは ということで、たいしたことではないですが。