エジプトの分数問題が解けることを証明
- 素数以外の数は必ず解けるので素数が解けることを証明します。
- L = 4ab-a-1、M = 4ab-a-4、N = ab-1 とすると、解ける式が成り立ちます。
- エジプトの分数問題は解けることが証明されました。質問があればお答えします。
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エジプトの分数問題が解けた？
あまり説明が上手ではありませんが、証明してみましょう。 素数以外の数は必ず解けるので素数が解けることを証明します。 まず、P が素数だとすると Ｐ = 12n+1 以外の素数はすべて解けるので 素数は p = 12n+1 とします。 L = 4ab-a-1 M = 4ab-a-4 N = ab-1 とすると 4/L = { 1 / abL } + { 1 / ab } + { 1/ bL } 4/M = { 1/ bNM } + { 1/ N } + { 1 / bM } となります。確認してみてください。 p は L = 4ab-a-1 で解けない素数とする。その場合、p=12n+1 とすると M で必ず解けることを証明する。 [ L = 4ab-a-1 ≠ p =12n+1 [ M = 4ab-a-4 p = 12n+1 = 4ab-a-4 b = n+2 4an+4-a = 12n+1 = p a = 3 、b = n+2 となりとけるので 4ab-a-4 で解ける。以上です。 何か質問がありましたら受け付けます。
- koolergoal
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p=12n+1がn=2のときp=25ですよね なにか間違えていたら申し訳ありません
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- Tacosan
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「p は L = 4ab-a-1 で解けない素数とする」 とか 「M で必ず解ける」 (「4ab-a-4 で解ける」) の意味が分かりません.
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あまり説明が上手ではありませんが、証明してみましょう。 素数以外の数は必ず解けるので素数が解けることを証明します。 まず、P が素数だとすると Ｐ = 12n+1 以外の素数はすべて解けるので 素数は p = 12n+1 とします。 L = 4ab-a-1 M = 4ab-a-4 N = ab-1 とすると 4/L = { 1 / abL } + { 1 / ab } + { 1/ bL } 4/M = { 1/ bNM } + { 1/ N } + { 1 / bM } となります。確認してみてください。 p は L = 4ab-a-1 で解けない素数とする。その場合、p=12n+1 とすると M で必ず解けることを証明する。 [ L = 4ab-a-1 ≠ p =12n+1 [ M = 4ab-a-4 p = 12n+1 = 4ab-a-4 b = n+2 4an+4-a = 12n+1 = p a = 3 、b = n+2 となりとけるので 4ab-a-4 で解ける。以上です。 何か質問がありましたら受け付けます。
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とりあえずエジプト分数問題が解けたような気がするので証明をしてみます。 L = 4abc-4b-c M = ac-1 ４／Ｌ＝ １／ａｂＬＭ ＋ １／ａｂＬ ＋ １／ｂＭ 上の式が正しいかどうか確認してみてください。 ４ａｂｃ－４ｂ－ｃ ＝ ｎ ＝ p１ ４ＡＢＣ－４Ｂ－Ｃ ＝ ｄ＊ｎ ＋ １ ＝ ｄ＊ｐ１＋１ ＝ ｐ２ Ａ ＝ ａ ＝ ｄ－１ Ｂ ＝ ｂ Ｃ ＝ ｄ＊ｃ－１ 以上からｐ１が解けることが分かればｐ２も自動的に解ける。 ｐ１とｐ１より小さい数は解けることが分かっていると仮定する。 それ以上の素数で２＊ｐ１＋１を超えない素数をｐ２とすれば、 ｄ＝２とおけばｐ２は解ける。このようにｐ１を大きくしていけば すべての素数で解ける。
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４ ＿＿＿＿＿＝ ４／Ｌ Ａ＊ｎ＋Ｂ Ａ＝ΠＰi （小さい素数の積） ｉ ｐ１＝２、ｐ２＝３、ｐ３＝５ とすれば 解りやすい Ｂ＝ｐａ （ある素数とする） Ａが十分大きいと、Ａ／Ｂは整数になり 、 Ｂ＝１以外の数は素数の積に含まれ、結果的に解けてしまう。 そうしていくと、Ｌ＝Ａ＊ｎ＋１だけが解けなくなってしまうが Ａが十分大きくなっていくとＬが大きくなっていきほとんどの数が 解けるようになってしまう。 ゆえにエジプト分数の問題は解けた。以上です。 質問はＯＫです。
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- エジプトの分数問題。どうしても解きたい。
4abc-b-4c∈K , 4abc-b-c∈H , x*y∈T , x≠1、y≠1 Tは素数以外の数で可解集合とする。 ここで、P+k=4abc-b-c∈H とすると 1≦c=4m-k≦4 とする。 P+3=4ab(4m-3)-b-4m+3 , P∈K P+6=4ab(4m-6)-b-4m+6 , P∈K P+7=4ab(4m-7)-b-4m+7 , P∈K P+ 12=4ab(4m-12)-b-4m+12 , P∈K ここで、15ｎ+aの形の関数を考える。 すると １５ｎ＋１∈K、P+12 １５ｎ＋２∈K、P+12 １５ｎ＋３∈T、３ １５ｎ＋４∈K、P＋7 １５ｎ＋５∈T、５ １５ｎ＋６∈T、３ １５ｎ＋７∈K、P+7 １５ｎ＋８∈K、P+3 １５ｎ＋９∈T、３ １５ｎ＋１０∈T、５ １５ｎ＋１１∈H １５ｎ＋１２∈T、３ １５ｎ＋１３∈H １５ｎ＋１４∈H １５ｎ＋１５∈T、１５ ここで具体的に１５ｎ＋１＝ｐを計算してみましょう。 P+12=4abc-b-c=(4ac-1)*b-c b=n+1,a=2,c=2 P+12=15n+15-2=15n+13∈H P+12=4ab*4-b-4∈H P=4ab*4-b-4*4∈K このように計算していくと15n+aは解けることになります。 自信はないのですが。 また、わけわからないことを言って迷惑をかけています。 先に謝っておきます。どうもすみません。 本人はこんな簡単に解けるはずはないと思っています。
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エジプトの分数問題が、解けたような気がするので、再度挑戦します。 e*P(e,f,g,h)=4*e*f*g*h - h - f (1) Q(a,b,c)=4*a*b*c - b - 4c (2) わかりやすくするため、式を変形する。P()＝Q()=24*n+1とする。 4*e*f*g - {(24*n+1)*e+f}/h=L=1 ? (4*b - 1)*a - {(6*n+b)/c｝=K=1 ? 適当に値を代入して、L=1またはK=1に になれば、等式が成り立ち、解が存在するだろう。 なので、L≠1の時に、K=1とすることができることを証明する。 それにより、(1)の式の解がないとき、(2)の式に必ず解が見つけることが できることを表す。 4*e*f*g - {(24*n+1)*e+f}/h=L e=4*b - 1,f=1 とおくと 4*(4*b - 1)*g - 1{(24*n+1)*(4*b - 1)+1}/h=L 4*(4*b -1)*g={(24*n+1)*(4*b - 1)+1}/h+L h=4m とおく 4*(4*b - 1)*g={(24*n*b+b - 6*n)/m}+L ここで式を変形してKを代入する。 (4*b - 1)*a - (6*n+b)/c=K (4*b - 1)*a={(6*n+b)/c}+K a=4d とおくと 4*(4*b - 1)*d={(6*n+b)/c}+K 4*(4*b - 1)=[{(24*n*b+b - 6*n)/m}+L]/g =[{(6*n+b)/c}+K]/d nがどんなときにもK=1になることから、 {(24*d*b)/(g*m)} - {(6*d)/(g*m)} - {6/c}=0 (3) {(d*b)/(g*m)}+{(d*L)/g} - {b/c}=K (4) (3)より {(4*d*b)/(g*m)}={d/(g*m)}+{1/c} {d/(g*m)}*(4*b - 1)={1/c} {d/(g*m)}=[1/{c*(4*b - 1)}] (4)より {d*(b+L*m)/(g*m)} - {b/c}=K [(b+L*m)/{c*(4*b - 1)}] - {b/c}=K ここで、Lが１以外の時にK=1となる数 ｂ、ｃが存在する、たとえば、 L*m=(b+c)*(4*b-1)-b とおけば {(b+c)/c}-{b/c}=1=K となり、K=1とすることができる。 少し厳密性がありません。いい加減な証明です。
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すみません、追加の論文です。後になってからですが、証明が不完全であることが解りました。 ですが、一応論文を載せておきます。 L = 4abc-4b-c M = ac-1 ４／Ｌ＝ １／ａｂＬＭ ＋ １／ａｂＬ ＋ １／ｂＭ 上の式が正しいかどうか確認してみてください。 ｐ１＝４ａｂｃ－４ｂ－ｃ ｐ２＝４ＡＢＣ－４Ｂ－Ｃ＝（ａ＋１）*ｐ1＋１ Ａ＝ａ 、Ｂ＝ｂ 、Ｃ＝ａｃ＋ｃ－１ ｐ＝４ｂｃ－４ｂ－ｃ をみたす（ｐ、ｂ、ｃ）が存在するなら、ｐ と （ａ＋１）*ｐ＋１は 単位分数の形に表されることがわかる。 ｐ＝４ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ２ｐ＋１、ａ＝１、解ける素数は ： ｐ＝２、ｐ＝５、ｐ＝６、ｐ＝７ ｐ＝８ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ３ｐ＋１、ａ＝２、解ける素数は ： ｐ＝３、ｐ＝１０、ｐ＝３１ ｐ＝１２ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ４ｐ＋１、ａ＝３、解ける素数は ： ｐ＝７、ｐ＝２９ ｐ＝１６ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ５ｐ＋１、ａ＝４、解ける素数は ： ｐ＝１１、ｐ＝５５ ｐ＝２０ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ６ｐ＋１、ａ＝５、解ける素数は ： ｐ＝１５、ｐ＝３１ ｐ＝２４ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ７ｐ＋１、ａ＝６、解ける素数は ： ｐ＝１９ ｐ＝２８ｂｃ－４ｂ－ｃ ⇔ ８ｐ＋１、ａ＝７、解ける素数は ： ｐ＝２３ ｐ１＝８、（ａ、ｂ、ｃ）＝（１，１，４） ↓ ｐ２＝１７、（Ａ、Ｂ、Ｃ）＝（１，１，７） 上の2つの数は（ａ、ｂ、ｃ）が存在するからそれぞれ単位分数の形に解ける。 ｐ＝４ａｂｃ－4ｂ－ｃ ａ＝１ ： ｐ＝２、ｐ＝５、ｐ＝６、ｐ＝８、ｐ＝１０、ｐ＝１１、ｐ＝１３、ｐ＝１４、ｐ＝１７ などは解ける ｐ＝４ｂ＋２ 、ｃ＝２ ⇔ ２ｐ＋１＝８ｂ＋５ ｐ＝８ｂ＋５ 、ｃ＝３ ⇔ ２ｐ＋１＝１６ｂ＋１１ ｐ＝１２ｂ＋８ 、ｃ＝４ ⇔ ２ｐ＋１＝２４ｂ＋１７ ｐ＝１６ｂ＋１１、ｃ＝５ ⇔ ２ｐ＋１＝３２ｂ＋２３ ｐ＝２０ｂ＋１４、ｃ＝６ ⇔ ２ｐ＋１＝４０ｂ＋２９ ａ＝２ ：ｐ＝３、ｐ＝７、ｐ＝１０、ｐ＝１１、ｐ＝１５、ｐ＝１７、ｐ＝１８、ｐ＝２２、などは解ける ｐ＝４ｂ＋３ 、ｃ＝１ ⇔ ３ｐ＋１＝１２ｂ＋１０ ｐ＝１２ｂ＋１０、ｃ＝２ ⇔ ３ｐ＋１＝３６ｂ＋３１ ｐ＝２０ｂ＋１７、ｃ＝３ ⇔ ３ｐ＋１＝６０ｂ＋５２ ｐ＝２８ｂ＋２４、ｃ＝４ ⇔ ３ｐ＋１＝８４ｂ＋７３ 不完全ですがこれで終わりです。
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式１： P ＋ ｚ ＝ ４ｙ（ｘｚ－１） 式２： P ＋ ａ ＝ （４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） Ｐは ２４ｎ＋１ （ｎは自然数） 型の素数であるとする。 式１の導出：L＝４ｘｙｚ-４ｙ－ｚ M＝ｘｚ－１ のとき ４／Ｌ＝１／ｘｙＬＭ ＋１／ｘｙＬ ＋１／ｙＭ が成り立ちます。 そして、Ｐ＝Ｌとおいて式を変形すれば式１が導かれます。 式２の導出： ４／Ｐ ＝１／（６ｎ＋ｋ） ＋１／Ｈ ＋１／Ｊ ４／Ｐ－１／（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ ＋１／Ｊ Ｐ＝２４ｎ＋１ とおき、 （４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝１／Ｈ ＋１／Ｊ ここで、ＨとＪを変形して （４ｋ－１）／（２４ｎ＋１）（６ｎ＋ｋ）＝（４ｋ－ｄ－１）／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１） ＋ｄ／Ｐｄｍ（４ｋ－ｄ－１） ６ｎ＋ｋ＝４ｋｄｍ－ｄｍ（ｄ＋１） から ｋ＝ｃ、ｄ＝ａ、ｍ＝ｂ として４を両辺にかけると ２４ｎ＝１６ａｂｃ－４ｃ－４ａｂ（ａ＋１） ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａー１）－ａ－1 ２４ｎ＋１＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） Ｐ＋ａ＝（４ａｂ－１）（４ｃ－ａ－１） となる。 素数Ｐに対して ｚ を動かして式１の解（ｘ、ｙ、ｚ） が存在するか確かめる。もし（ｘ、ｙ、ｚ）が存在するなら素数Ｐ は単位分数分解の解が存在する。 もし、式１の解が存在しないのなら、ａを動かして式２の解 （ａ、ｂ、ｃ）が存在するか確かめる。もし存在するなら素数Ｐは 単位分数の解が存在する。もし、式１と式２の単位分数分解の 解が存在しない場合、そのことを私に教えてほしいのです。 一応素数Ｐがどれぐらい３つの単位分数の解が存在するか 調べてみたのですが、少なくともＰが１０００以下の場合には 解がすべて存在することが調べて分かっています。知りたい のは式１と式２を同時に成り立たせない素数Ｐがあるかという ことが知りたいです。もし、すべての素数で反例がないことが 分かったのならエジプト分数の予想は正しいことになります。 ただ、多分反例が見つかると本人は思っています。 Ｐ＝９３７ の場合（例１） ｚ＝３、Ｐ＋３＝４ｙ（３ｘ－１）＝９４０＝４・５・４７ Ｐ＋３＝４・４７・（３・２－１） （ｘ、ｙ、ｚ）＝（２，４７，３） なので解が存在する。 Ｐ＝１００９ の場合（例２） ａ＝３、Ｐ＋３＝（１２ｂ－１）（４ｃ－４） １０１２＝４・２３・１１＝４（１２ｂ－１）（ｃ－１） （ａ、ｂ、ｃ）＝（３，２，１２）、（３，１，２４） が成り立ち Ｐ＝１００９ も解が存在する。
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エジプトの分数問題が解けたように思えるのですが。 4/n=1/a+1/b+1/cとすると4/(2^n・3^n-1)の形にできる数は解くことが出来ると一般にわかっているのですが2^n・3^m-1＝p(ｐは素数)とすると、ｐは必ず解ける集合CS(n、m)に含まれることは解っていません。 OOOOOO ？ ↑ ↑ ２ｑ 2q+1 2^n・3^m-1の形に解ける集合CS 2q+1はCS(n,m)集合に含まれるかどうかはまだ解らない まずはｐは解かれていない最小の素数とします。また、ｐ以下の素数はもう解かれていて2^h・3＾k-1の形になることが解っているとします。 ｐ＝2q+1＝2^h・3^k-1 2q＝2^h・3^k-2 ｑ＝{2^(h-1)}・{3^k}-1 q<ｐですのでCS(n,m)に含まれます。 CS(n,m)集合に含まれているということはｑはh、kのある自然数によって表現可能です。ということは、p=2q+1=2^h・3^h-1という形の素数にはh、kは必ず存在します。ですのでｐも2q+1も解くことができます。 あとは解くことができるかどうかわからない最小の素数をｐとおいて、数学的帰納法を用いればすべての素数を解くことができます。
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- 分数の未解決問題のことで質問です
今回はコラッツ予想が正しいと仮定すれば、エルディッシュ分数予想が正しいことを実験的に証明してみたいと思います。自信はありませんが。 ⑴ ある奇数の数列 p［n］を考えます p［n］は 奇数でないといけないと仮定します。p［１］をスタート場所と 考えた時、p［１］は奇数であるとします。次の式が成り 立つとします。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１ ① と式をあらわした時、十分に大きな数をLとした時に、 p［L］＝１ となる予想がコラッツ予想だと思っています。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１＝m ② ⑵ こちらの予想はエルディッシュの分数予想で、 a、b、c は任意の自然数を代入可能で、Q［k］は 分数が解ける数で、 Q[k］＝２４・k＋１＝４abcーbーc ③ です。 ここで、m＝ab とおきmの約数を σ（m）で表すと Q[k］＝４mcーcーσ（m）＝（４mー１）cーσ（m）④ となります。ちなみにmは偶数です。 ここで④の式のmは任意の偶数ですので、 m＝３・p［n−１］＋１を代入して計算することが可能で、 計算してみると②と④より Q［k］＝（１２・p［n−１］＋４−１）cーσ（m） ＝３（４・p［nー１］＋１）cーσ（m） ＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m） ⑤ となります。 ここでQ[k］＝２４k＋１、kは自然数です。 Q［k］＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m）＝２４k＋１ ここで、 １２・c・p［n−１］＝２４k ⑥ ３cーσ（m）＝１ ⑦ とおくと、⑦より ３cー１＝σ（m） dをある自然数とすると、 m＝d・（３cー１） ⑧ ⑥より １２・c・p［n−１］＝２４k c・p［n−１］＝２k ⑨ ②、⑧より ３・p［n−１］＋１＝m＝d・（３cー１）となりますので、 d＝２とおけば良いと思います。ですのでmは偶数です。 このことを実験的に確かめてみます。 k＝１８の時は Q［１８］＝２４・１８＋１＝４３３ ⑨より c・p［nー1］＝２・１８ c・p［nー1］＝３６ c＝４、p［nー1］＝９、k＝１８、となり、 m＝d・（３cー１）＝d・１１＝２２ Q[k］＝１２・c・p［nー1］＋３cーσ（m） Q［１８］＝４８・９＋１２ーσ（２２） ＝４３２＋１ ＝４３３ となります。
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補足
すみません、そのとうりです。計算ミスしました。もうしわけない。