素数は無限に存在する

質問

素数が有限であると仮定し、その最大のものをNとする。
ａ、b、cを自然数とした場合、すべてのａについて
Ｎ＋ａ＝b＊cとなるｂ、ｃが存在する。

この式を変形すると
Ｎ＝ｂ＊ｃ－ａとなる。
ところがａ＝ｂの場合、ａはＮの約数となり最初の仮定と矛盾する。
よって素数は無数にある。

この証明は正しいのですか？というのはこの矛盾をつくことによって、有限ではない！！って感じがしないんですよね。a=bの時はＮは素数ではない！！っていうのは分かるんですけど、a≠bでちょっと特別の場合（a=1,b=4,c=5など）は成立しちゃうんじゃない！？っていうのもあるし（aの値が変化することによってｂ、ｃの値も変化するだろうし・・・）、Ｎは素数ではないっていう証明をしただけで、「最大の」素数ではないって感じがしないんですよね・・・

こっちの証明は普通に納得するんですが・・・

定理が成立しないとすると，素数は有限個である．それらの素数をP1,P2,P3,・・・,Pnとする．このとき，Q=(P1P2P3…Pn)+1を考えると， QはP1,P2,P3,・・・,Pnのどれでも割り切れない．したがって， Qを素数の積として表したとき，この積に現れる素数はP1,P2,P3,・・・,Pnのいずれとも異なる． これは矛盾である。したがって定理が証明された．

なんかすっきりしなて非常に困ってます。誰か教えてください。お願いします。

回答No.3

nabla · ベストアンサー

Ｎが最大の素数ということは、Ｎに何らかの自然数を加えた者は全て合成数といことです。（ここでＮが『最大』という条件が効いてくるのです。もし『最大』でなければＮに任意の自然数を足して必ず合成数になることが保証されません）
これが『任意の自然数ａに対してＮ＋ａ＝ｂｃとなる１でない自然数ｂ、ｃが存在する』という命題の意味ですね。
これを変形して
Ｎ＝ｂｃ－ａとします。
ここでａ＝ｂという場合を選びます。
するとその時Ｎはｂの倍数となります。
ｂは１でない自然数という条件からＮは合成数となります。
これははじめの仮定「Ｎは最大の素数である」がおかしかったことを意味します。
つまり最大の素数は存在しません。

ただこの証明は一ヵ所不備があるように思います。
任意のａに対して選ばれたｂ、ｃの中にａ＝ｂを満たすペアが存在することを示していません。
その辺はどうなんでしょう？

回答No.9

gicchon

１．最後の素数Ｎがあると仮定する。
２．最初の素数２から最後の素数Ｎまでをすべてかけると
　　２×３×５×７×・・・×Ｎとなる
　式より、この数はＮまでのすべての素数で割り切れることがわかる
３．ところが、この数に1を足して
　　２×３×５×７×・・・×Ｎ＋１
　という数をつくると、Ｎ以下のどんな素数で割っても１余り、割り切れることはない
　つまり、この数はＮより大きい素数で割り切れるか、この数自身が素数なのかのどちらかである
４．いずれにせよ、仮定したような最後の素数は存在しない
　よって、素数は無限に続く
（証明終わり）

回答No.8

Rossana

例えばの話なので参考程度にお願いします．
さっきより考えが少しまとまった気がします．
暴走が少し収まりました．
最大の素数N＝751(これは明らかに最大の素数でないですが，最大の素数と解釈下さい．しかも素数でないかもしれませんが…まぁお許し下さい）とする．
aを任意として順に考える．
a=1のときb=a=1としてN＋a＝752よりc＝752でc存在
a=2のときb=a=2としてN＋a＝753よりc＝376.5という小数にならないといけないけどcは自然数でないといけない．つまりcは「存在しない！！！」
なんとかちょっとうまく行きました．
ということで，強制的に具体例にして考えるとこんな感じになりました．
ANo.7の専門家のojamanboさんもおっしゃられるようにやはりこの証明は不備があるということなのでしょうか．

回答No.7

noname#24477

他の人も述べているけれど
証明になっていないでしょう。

ａ＝ｂの場合といっているけれど
ａを決めるとｂ，ｃは自動的に決定され自分で選ぶ
ことは出来ません。

ｂ＝ａとできる場合があることを証明しなければ
いけません。それは明らか？ではないでしょう。

回答No.6

Rossana

>だけどbって1から777までのすべての自然数をとらないといけない．
ここなんか変ですね．強制的にN＝751とすると(こんなやり方メチャクチャ変ですが最大じゃないし751は素数じゃないかもしれないし…）
aは1から76までとれる．だからbは1から76までとれる．
なんか暴走し出しましたf(^^;

回答No.5

Rossana

ANo.3のnablaさんがおっしゃられるように
>ただこの証明は一ヵ所不備があるように思います。
>任意のａに対して選ばれたｂ、ｃの中にａ＝ｂを満た
>すペアが存在することを示していません。
>その辺はどうなんでしょう？
っていうのはたしかに問題ですね．
この問題はb＝aと決めるのはいいとして，このときに，
N＋a＝b×c
を満たすcが存在するか否かという問題にすることができると思います．
N＋aは合成数なので合成数とは何かということを細かく考える必要がありますね．
例えば，合成数777について考えるとbはb＝aというようにaと連動して動くので間接的に任意と考えられます．
777＝(7×3)×(37)
b＝(7×3)が決まったらc＝37
だけどbって1から777までのすべての自然数をとらないといけない．このときに，cは存在しない事があるぞ！
う～ん．なんかこの辺りがよくわかんなくなってきましたf(^^;

回答No.4

Rossana

なんか中途半端な書き方になってしまい綺麗じゃないのでまとめます．
流れ1：Nは最大の素数⇒N＋1，N＋2，…は合成数．
流れ2：任意の自然数aの値をまず定める．
流れ3：aの値に応じてbの値は自由に決めることができる（ただし，b＝1とすると注意←∵cは合成数にしなければいけなくなる）．もし，bの値をb＝aとしたらという場合を考える．
流れ4：N＋a，bは既に確定．N＋a＝b×cの束縛関係よりcの値は自動的に確定．自分で決める事はできない！！

回答No.2

Rossana

POINT1：
>素数が有限であると仮定し、その最大のものをNとする。
ということは，もうこれ以上大きな素数はなく，Nより大きな自然数N＋1，N＋2，…はすべて「合成数」である！！
ということが使える．

>ａ、b、cを自然数とした場合、すべてのａについて
>Ｎ＋ａ＝b＊cとなるｂ、ｃが存在する。
N＋1≦N＋aなのでN＋aは合成数！！
aによってb，cは自由自在にうまくとれるのでここは問題なしですね．

>ところがａ＝ｂの場合
ここがなんかネックですよね．
順番としては「aが決定」→「bが決定」なので，
「a＝bの場合」という言い方はなんか変な気がします．
「aが予め定められていて」→「b＝aとなるようにbを取ると」という言い方にすれば納得できる気がします．
そのあとに「cは自動的に決定されざるを得なくなります」
こんな感じの論理にすればなんとか納得できるのでは．

回答No.1

elmclose

「すべてのａについてＮ＋ａ＝b＊cとなるｂ、ｃが存在する。」という命題が真か偽かという問題ですよね。

「すべてのａ」を否定するためには、反例がひとつでもあれば充分であり、ａ＝ｂのときがその反例です。

もともと、素数の個数が有限であって、Ｎが最大の素数であると言う前提からスタートしてますから、それが否定されると言うことは、素数の個数が有限であることの否定です。

論理学を理解すると、よりわかりやすいかもしれません。