再チャレンジ、エジプト分数について

質問

p(n)=24n+1
　p(n)＝4xyz-y-z　（１）
　p(n)＝4xyz-y-4z　（２）
（１）について計算すると
24n+1=4xyz-y-z
4w=y+z+1　とおくと
24n+4w=4xyz
24n+4w=4xy(4w-y-1)
6n+w=xy(4w-y-1)
⇒　6n+f=ab(4f-b-1)　（３）
（２）について計算すると
24n+1=4xyz-y-4z
4w=1+y　とおくと
24n+4w=4xyz-4z
6n+w=xz(4w-1)-z
6n+w=4xwz-xz-z
⇒　6n+f=u(4fs-s-1)　（４）
ここで、KとHを示しておきます
K=F［(4f-b)-(6n+f)/ab］（５）
H=F［4sf-s-(6n+f)/u〕　（６）
Fは自然数に対応する関数でたとえば、
U=F{1，2、3.5、6，7.5}の時には
U={1, 2, 6 }となって、自然数以外の数を
とりはぶく関数とします。それ以外は
普通の自然数の関数です。
次に
ab*K=ab*(4f-b)-(6n+f) 　（７）
u*H=u*(4sf-s)-(6n+f)　（８）
K-1=(4f-b-1)-(6n+f)/ab　（９）
H-1=(4sf-s-1)-(6n+f)/u　（１０）
ab*(K-1)=u*(H-1)+(4f-b-1)*ab-(4sf-s-1)*u　（１１）
ここで、(K-1)*(H-1)=0を想定しております。
｛Ｋ≠１、K=4f-b-1⇒ab=6n+f、H=1}　（１２）
前の（１２）を証明できればいいのですが。
（１１）より
ab=｛(4f-1)s-1｝*u　という等式を代入してみましょう
　{(4f-1)s-1}*(K-1)=(H-1)＋(4f-b-1)*{(4f-1)s-1｝-(4sf-s-1)
｛(4f-1)s-1}*{K-4f+b+1}=H-1
K=4f-b-1⇒H=1

K=1を満たす自然数a,b,dが存在する場合、K=1となりますので、自然数解
は存在する。ある意味あたりまえです。では、K≠１の時はどうでしょう。
この場合、計算してみるとK=4f-b-1をみたせば、H=1となり、もう片方の
関数の自然数s,f,uが存在する場合となる。これは、Kの解が存在しないとき
Hの解が存在するということです。すなわちHとKのどちらかの式を満たす
数はnがどのような数であろうとも解が存在することを意味するものではない
でしょうか。
6n+f=ab

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

元の証明を使って
409=4xyz-y-4z
となる整数x,y,zが存在する事を証明してといっているのに
その証明方法はそうではないしょう?

409=4xyz-y-4z
となる整数x,y,zが存在する事の証明
に元の証明を使えないという事です

元の証明は

ab={(4f-1)s-1}*u
の仮定で

K≠1
の時
K=4f-b-1
をみたせば
H=1
といっているだけで

無条件に
K≠1→H=1
となるといってはいません

したがって
ab={(4f-1)s-1}*u
K=4f-b-1
となる
a,b,f,s,u,K
が存在する事を証明しなければ証明した事になりません

お礼

なんだか、自分でも正しいのか間違っているのか
わからなくなってしまって、滅入ってきてります。
もう一度、出直してきます。ありがとうございます。

回答No.3

muturajcp

その証明方法は
直接H,s,f,uを求めているだけで
元の証明の方法とは違うのでは？
K≠1の場合に
H=1,となるs,f,uが存在するという
事を証明していないではないでしょうか?
n=17
p(n)=24*17+1=409
にだけしか通用しないではないでしょうか？

409=4xyz-y-4z
となる整数x,y,zが存在する事の証明
に
元の証明を使えないということですね

K=4f-b-1
となるK,f,bが存在するかどうかも分からないのに
K=4f-b-1
を仮定している箇所

ab={(4f-1)s-1}*u
となるa,b,f,s,uが存在するかどうかも分からないのに
ab={(4f-1)s-1}*u
を仮定している箇所

とても証明しているとはいえません

補足

正しいかどうかはわかりませんが頑張ってみましょう。
４０９は24*n+1の素数だと思いますが、

409=A*y-B*w　とすると
A=4xz-1,B=4　A,Bは互いに素であるので

A*y-B*w=24*n+1　の解y,wは存在する。
y=4*a-1,w=bを代入すれば問題なく使えるので、
b=1として、a=a*b=aを代入すると
(4xz-1)*y-4z=24*n+1　は、z=1の時に存在するのでは？
自信がありませんが。

回答No.2

muturajcp

では
n=17
p(n)=24*17+1=409
のとき
409=4xyz-y-z
となる自然数x,y,zは存在しないので

n=17
の時
6n+f=ab(4f-b-1)
(6n+f)/(ab)=4f-b-1
1=4f-b-(6n+f)/(ab)
となる
整数a,b,fは存在しないので

409=4xyz-y-4z
となる整数x,y,zが存在する事を証明してください

補足

H=7s-(6n+2)/u
u=1とします。s=6m+3、n=7m+3を代入します。
H=7*(6m+3)-2*3*(7m+3)-2
H=42*m+21-42*m-18-2
H=1となりました。
m＝2より、s=15、ｎ＝17です。

回答No.1

muturajcp

「
ここで、(K-1)*(H-1)=0を想定しております。
」
の箇所
(K-1)*(H-1)=0は証明すべき結論なので
結論を仮定する事になり
(K-1)*(H-1)=0を仮定すれば
(K-1)*(H-1)=0が成り立つのは当然なのです

K-1=(4f-b-1)-(6n+f)/(ab)
K≠1の時
K=4f-b-1
ab=6n+f
となるf,a,bが存在するとどうしていえるのでしょうか?

補足

Ｋ、Ｈが満たすべき式が最初はわからなかったので、
等式を利用して、後ろからたどっていった結果そのよ
うになりました。それと、「想定」と書いたのは結論を
そのようにイメージしてくださいという意味で書いた
ものです。

K=4f-b-1
abc=6n+f　←少し修正します。すみません。
存在の証明は、a,b,cは、2と3以外の素である数
でないと解が満たされないのでf=2,b=5を想定
しています。厳密な意味で証明したわけでは
ないのですが。