３重積分の発散のオーダーを教えてください。

質問

S_n=∫_{-1→1}dz∫_{a→n}dx∫_{a→n}dyh(x, y, z), ただし a>0, n>0,
h(x,y,z)=(zx^2y^2)/{f(x)f(y)E(y)^2}(1/E(x)+1/E(y)){1/L(x,y,z)},
f(x)=√(x^2+c^2), c>0, E(x)=x^2/(2m)+f(x), m>0,
L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
とします。
n→∞のときのS_nのオーダーを求めてください。よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a>0
n>0
c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
m>0
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y,z)=(zx^2y^2)/{f(x)f(y)E(y)^2}(1/E(x)+1/E(y)){1/L(x,y,z)}
S_n=∫_{-1→1}∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y,z)dydxdz
S1_n=∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{x→2x}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
S2_n=∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2x→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
とする
f(x)>0
f(y)>0
E(x)>0
L(x,y,z)={(x-y)^2+2xy(1+z)}/(2m)+f(x)+f(y)>0
L(x,y,-z)=(x^2+y^2-2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)

L(x,y,-z)-L(x,y,z)=-2xyz/m

h(x,y,-z)=(-zx^2y^2)/{f(x)f(y)E(y)^2}(1/E(x)+1/E(y)){1/L(x,y,-z)}
h(x,y,z)+h(x,y,-z)
=(zx^2y^2)/{f(x)f(y)E(y)^2}(1/E(x)+1/E(y)){L(x,y,-z)-L(x,y,z)}/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
=(-2z^2x^3y^3)/{mf(x)f(y)E(y)^2}(1/E(x)+1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
<0

S_n
=∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{a→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)}dydxdz
=∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{x→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
=
∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{x→2x}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
+∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2x→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
=S1_n+S2_n

h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)
=(-2z^2x^3y^3)/{mf(x)f(y)}[1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2](1/E(x)+1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
<0

S1_n<0
S2_n<0
S_n<0
S_nは単調減少

a≦x<√(x^2+c^2)=f(x)
1/f(x)<1/x…………(1)
1/f(y)<1/y…………(2)
x^2/(2m)<x^2/(2m)+f(x)=E(x)
1/E(x)<2m/x^2
1/E(y)<2m/y^2
1/{E(y)}^2<4m^2/y^4
1/E(x)+1/E(y)<2m(1/x^2+1/y^2)
1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2<4m^2(1/x^4+1/y^4)
a≦y<L(x,y,z)
1/L(x,y,z)<1/y…………(3)
1/L(x,y,-z)<1/y…………(4)
x≦yの時
1/y≦1/x
1/y^2≦1/x^2
1/E(x)+1/E(y)<2m(1/x^2+1/y^2)≦4m/x^2…………(5)
1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2<4m^2(1/x^4+1/y^4)≦8m^2/x^4…………(6)
y≦2xの時
1/x≦2/y
1/x^2≦4/y^2
1/x^4≦16/y^4
1/E(x)+1/E(y)<2m(1/x^2+1/y^2)≦10m/y^2…………(7)
1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2<4m^2(1/x^4+1/y^4)≦68m^2/y^4…………(8)

0
>S1_n
=∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{x→2x}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
=
∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{x→2x}
(-2z^2x^3y^3)/{mf(x)f(y)}[1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2](1/E(x)+1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
dydxdz
↓(1)(2)(3)(4)(7)(8)から
>-1360m^2∫_{a→n}x^2∫_{x→2x}(1/y^6)dydx
=-272m^2∫_{a→n}x^2[-1/y^5]_{x→2x}dx
=(-527m^2/2)∫_{a→n}(1/x^3)dx
=(-527m^2/4)[-1/x^2]_{a→n}
=(-527m^2/4)[1/a^2-1/n^2]
>-527m^2/(4a^2)

2x≦yの時
x≦y/2
x+y/2≦y
y/2≦y-x
y^2/(8m)≦(y-x)^2/(2m)<L(x,y,z)
1/L(x,y,z)<8m/y^2…………(9)
1/L(x,y,-z)<8m/y^2…………(10)

0
>S2_n
=∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2x→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)+h(y,x,z)+h(y,x,-z)}dydxdz
=
∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2x→n}{
(-2z^2x^3y^3)/{mf(x)f(y)}[1/{E(x)}^2+1/{E(y)}^2](1/E(x)+1/E(y))/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
}dydxdz
↓(1)(2)(5)(6)(9)(10)から
>-4096m^4∫_{a→n}(1/x^4)∫_{2x→n}{(1/y^2)dydx
=-4096m^4∫_{a→n}(1/x^4)[-1/y]_{2x→n}dx
=-4096m^4∫_{a→n}(1/x^4)[1/(2x)-1/n]dx
>-2048m^4∫_{a→n}(1/x^5)dx
=-512m^4[-1/x^4]_{a→n}
=-512m^4[1/a^4-1/n^4]
>-512m^4/a^4

0
>S_n
=S1_n+S2_n
>-527m^2/(4a^2)-512m^4/a^4

S_nは下に有界で単調減少だから収束する

お礼

h(x,y,z)がxとyについて非対称なので苦慮していたのですが、こんな素晴らしい解決法があるのですね。
本当にありがとうございました。