２重積分の発散のオーダーがわかりません。

質問

２重積分
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy,
ただしa>0, nは実数、
h(x,y)=x^2y^2/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2(1/{G(x,y)}^3)(x^2+y^2), f(x)=√(x^2+c^2), c>0,
E(x)=x^2/(2m)+f(x), m>0, G(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y) ,-1≦d≦1とする。
n→∞とした時のS_nの発散のオーダーを求めてください。自分はlognで発散するように思うのですが、きちんとした証明ができません。
証明をつけて説明をお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a>0
nは実数
c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
m>0
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
-1≦d≦1
G(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y)=x^2y^2/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2(1/{G(x,y)}^3)(x^2+y^2)
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy
S1(n)=∫_{a→n}∫_{y→2y}h(x,y)dxdy
S2(n)=∫_{a→n}∫_{2y→n}h(x,y)dxdy
とすると
0<a≦x≦n
0<a≦y≦n
f(x)>0
E(x)>0

G(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y)
={(x-y)^2+2(1+d)xy}/(2m)+f(x)+f(y)>0

h(x,y)>0
S1_n>0
S2_n>0

S_n
=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy
=∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy+∫_{a→n}∫_{x→n}h(x,y)dydx
↓第2項のxとyを入れ替えると
=∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy+∫_{a→n}∫_{y→n}h(y,x)dxdy
↓h(y,x)=h(x,y)だから
=2∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy
=2∫_{a→n}∫_{y→2y}h(x,y)dxdy+2∫_{a→n}∫_{2y→n}h(x,y)dxdy
=2S1(n)+2S2(n)
>0
S_nは単調増加

x<f(x)
y<f(y)
x^2/(2m)<E(x)
y^2/(2m)<E(y)
1/f(x)<1/x
1/f(y)<1/y
1/E(x)<2m/x^2
1/E(y)<2m/y^2
x^2y^2/{f(x)f(y)}<xy……………(1)
1/E(x)+1/E(y)<2m(1/x^2+1/y^2)
x<G(x,y)
1/G(x,y)<1/x
1/{G(x,y)}^3<1/x^3……………(2)

y≦x≦n
x^2+y^2≦2x^2……………(3)
1/x≦1/y
1/E(x)+1/E(y)<4m/y^2
{1/E(x)+1/E(y)}^2<16m^2/y^4……………(4)

x≦2yの時
1/y≦2/x
1/E(x)+1/E(y)<10m/x^2
{1/E(x)+1/E(y)}^2<100m^2/x^4……………(5)

∫_{y→2y}h(x,y)dx
=∫_{y→2y}x^2y^2/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2(1/{G(x,y)}^3)(x^2+y^2)dx
↓(1)(2)(3)(5)から
<(200m^2)y∫_{y→2y}(1/x^4)dx
=(200m^2/3)y[-1/x^3]_{y→2y}
=(175m^2/3)/y^2

S1(n)
=∫_{a→n}∫_{y→2y}h(x,y)dxdy
<(175m^2/3)∫_{a→n}(1/y^2)dy
=(175m^2/3)[-1/y]_{a→n}
=(175m^2/3)[1/a-1/n]
<175m^2/(3a)

2y≦xの時
y≦x/2
y+x/2≦x
x/2≦x-y
x^2/4≦(x-y)^2
x^2/(8m)≦(x-y)^2/(2m)<G(x,y)
1/G(x,y)<8m/x^2
1/{G(x,y)}^3<512m^3/x^6……………(6)

∫_{2y→n}h(x,y)dx
=∫_{2y→n}x^2y^2/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2(1/{G(x,y)}^3)(x^2+y^2)dx
↓(1)(3)(4)(6)から
<(16384m^5/y^3)∫_{2y→n}(1/x^3)dx
=(8192m^5/y^3)[-1/x^2]_{2y→n}
=(8192m^5/y^3)[1/(4y^2)-1/n^2]
<2048m^5/y^5

S2(n)
=∫_{a→n}∫_{2y→n}h(x,y)dxdy
<2048m^5∫_{a→n}(1/y^5)dy
=512m^5[-1/y^4]_{a→n}
=512m^5[1/a^4-1/n^4]
<512m^5/a^4

S_n
=2S1(n)+2S2(n)
<350m^2/(3a)+1024m^5/a^4

S_nは上に有界で単調増加だから収束する

お礼

素晴らしい解答をありがとうございました。