正確に積分の発散のオーダーを求める質問です

質問

S_n =∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy,
ただし、
h(x,y)=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}][x^2/{E(x)}^3+y^2/{E(y)}^3]{1/E(x)+1/E(y)}[1/{g(x,y)}],
f(x)=√(x^2+c^2),
E(x)={x^2/(2m)}+f(x),
g(x,y)={(x^2+y^2+2dxy)/(2m)}+f(x)+f(y),
c>0, m>0, -1≦d≦1
とします。ここで、n→∞としたとき、S_nはlogn以上n以下のオーダーで発散することがわかっていますが、発散のオーダーが正確にはわかりません。正確に発散のオーダーがおわかりの方いらっしゃいましたら、ご解説お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

c>0
m>0
-1≦d≦1
f(x)=√(x^2+c^2)
E(x)={x^2/(2m)}+f(x)
g(x,y)={(x^2+y^2+2dxy)/(2m)}+f(x)+f(y)
h(x,y)=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}][x^2/{E(x)}^3+y^2/{E(y)}^3]{1/E(x)+1/E(y)}[1/{g(x,y)}]
S_n =∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy

h1(x,y)=(x^2)(y^4)/[f(x)f(y)g(x,y){E(y)}^4]
h2(x,y)=(x^2)(y^4)/[f(x)f(y)g(x,y)E(x){E(y)}^3]
とすると
h(x,y)=h1(x,y)+h1(y,x)+h2(x,y)+h2(y,x)
となる
S1_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h1(x,y)dxdy
S2_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h2(x,y)dxdy
とすると
S_n=2(S1_n+S2_n)
となる
b=|a|+1
B=(b^3-a^3)/(3c^2)
とする
f(x)>c
1/f(x)<1/c
g(x,y)>c
1/g(x,y)<1/c
だから
∫_{a→b}(x^2)/[f(x)g(x,y)]dx
<∫_{a→b}(x^2)dx/c^2
=(b^3-a^3)/(3c^2)
=B

Y=2|y|+|a|+1とすると
b<x<Yの時
f(x)>x
1/f(x)<1/x
g(x,y)>x
1/g(x,y)<1/x
だから
∫_{b→Y}(x^2)/[f(x)g(x,y)]dx
<∫_{b→Y}dx
=Y-b
=2|y|

x>Yの時
1/f(x)<1/x
x>Y>2y
x-y>x/2
g(x,y)≧(x-y)^2/(2m)>x^2/(8m)
1/g(x,y)<8m/x^2
だから
∫_{Y→n}(x^2)/[f(x)g(x,y)]dx
≦8m∫_{Y→n}(1/x)dx
=8m[logx]_{Y→n}
=8m{logn-logY}
<8mlogn

∫_{a→n}(x^2)/[f(x)g(x,y)]dx<B+2|y|+8mlogn

S1_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h1(x,y)dxdy
=∫_{a→n}∫_{a→n}(x^2)(y^4)/[f(x)f(y)g(x,y){E(y)}^4]dxdy
≦∫_{a→n}{2|y|+B+8mlogn}(y^4)/[f(y){E(y)}^4]dy

f(y)>c
1/f(y)<1/c
E(y)>c
1/E(y)<1/c
だから
a<y<bの時
∫_{a→b}{2|y|+B+8mlogn}(y^4)/[f(y){E(y)}^4]dy
<(2b+B+8mlogn)(b-a)b^4/c^5
<(2b+B+8mlogn)(b/c)^5

y>bの時
f(y)>y
1/f(y)<1/y
E(y)>y^2/(2m)
1/E(y)<2m/y^2
だから
∫_{b→n}{2|y|+B+8mlogn}(y^4)/[f(y){E(y)}^4]dy
<2m∫_{b→n}{(2/y^4)+(B+8mlogn)/y^5}dy
=2m[-2/y^3/3-(B+8mlogn)/y^4/4]_{b→n}
=2m[2/b^3/3+(B+8mlogn)/b^4/4-2/n^3/3-(1+8mlogn)/n^4/4]

S1_n
<(2b+B+8mlogn)(b/c)^5+2m[2/b^3/3+(B+8mlogn)/b^4/4-2/n^3/3-(1+8mlogn)/n^4/4]
<(8mlogn){(b/c)^5+m/b^4/2}+(2b+B)(b/c)^5+2m[2/b^3/3]+2mB/b^4/4

K1=8m{(b/c)^5+m/b^4/2}
K0=(2b+B)(b/c)^5+2m[2/b^3/3]+2mB/b^4/4
とすると

S1_n<K1logn+K0

B1=B/c+2m/bとすると
f(x)>c
1/f(x)<1/c
g(x,y)>c
1/g(x,y)<1/c
E(x)>c
1/E(x)<1/c
∫_{a→b}x^2/[f(x)g(x,y)E(x)]dx
<∫_{a→b}x^2dx/c^3
=(b^3-a^3)/(3c^3)
=B/c1

x>bの時
f(x)>x
1/f(x)<1/x
g(x,y)>x
1/g(x,y)<1/x
E(x)>x^2/(2m)
1/E(x)<2m/x^2
x^2/[f(x)g(x,y)E(x)]<2m/x^2
だから
∫_{b→n}x^2/[f(x)g(x,y)E(x)]dx
<∫_{b→n}2m/x^2dx
=2m[-1/x]_{b→n}
=2m(1/b-1/n)
=2m/b-2m/n

∫_{a→n}x^2/[f(x)g(x,y)E(x)]dx
<B/c+2m/b-2m/n
=B1-2m/n
<B1

S2_n
=∫_{a→n}∫_{a→n}h2(x,y)dxdy
<B1∫_{a→n}(y^4)/[f(y){E(y)}^3]dy

B2=B1{(b^5-a^5)/(5c^4)+4m^3/b^2}
とすると
f(y)>c
1/f(y)<1/c
E(y)>c
1/E(y)<1/c
だから
∫_{a→b}(y^4)/[f(y){E(y)}^3]dy
<∫_{a→b}(y^4)dy/c^4
=(b^5-a^5)/(5c^4)

y>bの時
f(y)>y
1/f(y)<1/y
E(y)>y^2/(2m)
1/E(y)<2m/y^2
だから
∫_{b→n}(y^4)/[f(y){E(y)}^3]dy
<8m^3∫_{b→n}[1/y^3]dy
=4m^3[-1/y^2]_{b→n}
=4m^3(1/b^2-1/n^2)
<4m^3/b^2

S2_n<B2

S_n=2(S1_n+S2_n)<2(K1logn+K0+B2)

S_n/logn<2K1+2(K0+B2)/logn

lim_{n→∞}(S_n/logn)≦2K1

以前S_nがlogn以上のオーダーで発散する事が示されているから
∴
S_nはlognのオーダーで発散する

お礼

いつもありがとうございます。
これで、懸案の問題が解けてすっきりしました。