重積分の発散のオーダーを知りたいです。

質問

S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy,　ただし a>0, nは実数、
h(x,y)=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}](x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2)(1/E(x)+1/E(y))[1/{g(x,y)}^2],
f(x)=√(x^2+c^2), c>0, E(x)=x^2/(2m)+f(x), m>0, g(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y), -1≦d≦1
とします。
ここで、n→∞としたときのS_nの発散のオーダーを知りたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

#1です途中誤りがありましたので訂正します

a>0
nは実数
c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
m>0
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
-1≦d≦1
g(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y)=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}](x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2)(1/E(x)+1/E(y))[1/{g(x,y)}^2]
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy
S1_n=2∫_{a→n}∫_{y→2y}h(x,y)dxdy
S2_n=2∫_{a→n}∫_{2y→n}h(x,y)dxdy
とすると
S_n
=∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy+∫_{a→n}∫_{x→n}h(x,y)dydx
=∫_{a→n}∫_{y→n}{h(x,y)+h(y,x)}dxdy
=2∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy
=2∫_{a→n}∫_{y→2y}h(x,y)dxdy+2∫_{a→n}∫_{2y→n}h(x,y)dxdy
=S1_n+S2_n

0<f(x)
0<E(x)
g(x,y)={(x-y)^2+2(1+d)xy}/(2m)+f(x)+f(y)>0
0<h(x,y)
0<S_n
S_nは単調増加

0<x<f(x)
1/f(x)<1/x
1/f(y)<1/y
x^2/(2m)<E(x)
1/{E(x)}<2m/x^2
1/{E(y)}<2m/y^2
x^2/{E(x)}^2<4m^2/x^2
y^2/{E(y)}^2<4m^2/y^2
x<{(x-y)^2+2(1+d)xy}/(2m)+f(x)+f(y)=g(x,y)
1/g(x,y)<1/x
1/{g(x,y)}^2<1/x^2
x^2y^2/{f(x)f(y)}<xy
1/{E(x)}+1/{E(y)}<2m(1/x^2+1/y^2)
x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2<4m^2(1/x^2+1/y^2)
y≦xの時
1/x≦1/y
1/x^2≦1/y^2
1/x^2+1/y^2≦2/y^2
1/{E(x)}+1/{E(y)}<4m/y^2
x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2<8m^2/y^2

x≦2yの時
1/y≦2/x
1/y^2≦4/x^2
1/x^2+1/y^2≦5/x^2
1/{E(x)}+1/{E(y)}<10m/x^2
x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2<20m^2/x^2

h(x,y)
=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}](x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2)(1/E(x)+1/E(y))[1/{g(x,y)}^2]
<(xy)(20m^2/x^2)(10m/x^2)(1/x^2)
=(200m^3)y/x^5

S1_n
=2∫_{a→n}∫_{y→2y}h(x,y)dxdy
<400m^3∫_{a→n}y∫_{y→2y}(1/x^5)dxdy
=100m^3∫_{a→n}y[-1/x^4]_{y→2y}dy
=(375m^3/4)∫_{a→n}(1/y^3)dy
=(375m^3/8)[-1/y^2]_{a→n}
=(375m^3/8)(1/a^2-1/n^2)
<375m^3/(8a^2)

2y≦xの時
y≦x/2
y+x/2≦x
x/2≦x-y
x^2/(8m)≦(x-y)^2/(2m)<g(x,y)
1/g(x,y)<8m/x^2
1/{g(x,y)}^2<8m/x^4

y≦xの時
1/x≦1/y
1/x^2≦1/y^2
1/x^2+1/y^2≦2/y^2
1/{E(x)}+1/{E(y)}<4m/y^2
x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2<8m^2/y^2

h(x,y)
=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}](x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2)(1/E(x)+1/E(y))[1/{g(x,y)}^2]
<(xy)(8m^2/y^2)(4m/y^2)(8m/x^4)
=(256m^4)/(x^3y^3)

S2_n
=2∫_{a→n}∫_{2y→n}h(x,y)dxdy
<512m^4∫_{a→n}(1/y^3)∫_{2y→n}(1/x^3)dxdy
=256m^4∫_{a→n}(1/y^3)[-1/x^2]_{2y→n}dy
=256m^4∫_{a→n}(1/y^3){1/(4y^2)-1/n^2}dy
<64m^4∫_{a→n}(1/y^5)dy
=16m^4[-1/y^4]_{a→n}
=16m^4(1/a^4-1/n^4)
<16m^4/a^4

S_n
=S1_n+S2_n
<375m^3/(8a^2)+16m^4/a^4

S_nは上に有界で単調増加だから収束する

お礼

素晴らしい解答をありがとうございました。

回答No.1

jcpmutura

a>0
nは実数
c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
m>0
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
-1≦d≦1
g(x,y)=(x^2+y^2+2dxy)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y)=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}](x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2)(1/E(x)+1/E(y))[1/{g(x,y)}^2]
S_n=∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y)dxdy
とすると
S_n
=∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy+∫_{a→n}∫_{x→n}h(x,y)dydx
=∫_{a→n}∫_{y→n}{h(x,y)+h(y,x)}dxdy
=2∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy

0<f(x)
0<E(x)
g(x,y)={(x-y)^2+2(1+d)xy}/(2m)+f(x)+f(y)>0
0<h(x,y)
0<S_n
S_nは単調増加

0<x<f(x)
1/f(x)<1/x
1/f(y)<1/y
x^2/(2m)<E(x)
1/{E(x)}<2m/x^2
1/{E(y)}<2m/y^2
x^2/{E(x)}^2<4m^2/x^2
y^2/{E(y)}^2<4m^2/y^2
x<{(x-y)^2+2(1+d)xy}/(2m)+f(x)+f(y)=g(x,y)
1/g(x,y)<1/x
1/{g(x,y)}^2<1/x^2
x^2y^2/{f(x)f(y)}<xy
1/{E(x)}+1/{E(y)}<2m(1/x^2+1/y^2)
x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2<4m^2(1/x^2+1/y^2)
x≦yの時
1/y≦1/x
1/y^2≦1/x^2
1/x^2+1/y^2≦2/x^2
1/{E(x)}+1/{E(y)}<4m/x^2
x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2<8m^2/x^2

h(x,y)
=[(x^2y^2)/{f(x)f(y)}](x^2/{E(x)}^2+y^2/{E(y)}^2)(1/E(x)+1/E(y))[1/{g(x,y)}^2]
<(xy)(8m^2/x^2)(4m/x^2)(1/x^2)
=(32m^3)y/x^5

S_n
=2∫_{a→n}∫_{y→n}h(x,y)dxdy
<64m^3∫_{a→n}y∫_{y→n}(1/x^5)dxdy
=16m^3∫_{a→n}y[-1/x^4]_{y→n}dy
=16m^3∫_{a→n}y(1/y^4-1/n^4)dy
<16m^3∫_{a→n}(1/y^3)dy
=8m^3[-1/y^2]_{a→n}
=8m^3(1/a^2-1/n^2)
<8m^3/a^2

S_nは上に有界で単調増加だから収束する