３重積分のオーダーの下限を求めたいです。

質問

S_n=∫_{-1→1}dz∫_{a→n}dx∫_{a→n}dyh(x,y,z), ただしa>0,
h(x,y,z)=zx^3y^3/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2{1/L(x,y,z)}^2, f(x)=√(x^2+c^2), c>0,
E(x)=x^2/(2m)+f(x), L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)とします。
S_nはn→∞のとき-logn以上で発散することがわかっています。
n→∞のときのS_nの発散の下限がお分かりの方いらっしゃいましたら、解説をお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a>0
c>0
f(x)=√(x^2+c^2)
E(x)=x^2/(2m)+f(x)
L(x,y,z)=(x^2+y^2+2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
h(x,y,z)=zx^3y^3/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2{1/L(x,y,z)}^2
S_n=∫_{-1→1}∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y,z)dxdydz
g(x,y,z)=h(x,y,z)+h(x,y,-z)
g1(x,y,z)=-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,z){L(x,y,-z)}^2]
g2(x,y,z)=-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,-z){L(x,y,z)}^2]
S1_n=2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→2y}g1(x,y,z)dxdydz
S2_n=2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2y→n}g1(x,y,z)dxdydz
S3_n=2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→n}g2(x,y,z)dxdydz
とすると
S_n
=
∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y,z)dxdydz
+∫_{-1→0}∫_{a→n}∫_{a→n}h(x,y,z)dxdydz
=
∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{a→n}{h(x,y,z)+h(x,y,-z)}dxdydz
=
∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{a→n}g(x,y,z)dxdydz
=
2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→n}g(x,y,z)dxdydz

h(x,y,-z)=-zx^3y^3/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2{1/L(x,y,-z)}^2
L(x,y,-z)-L(x,y,z)=-2xyz/m

0≦z≦1
a≦x≦n
a≦y≦n
の時
g1(x,y,z)<0
g2(x,y,z)<0

g(x,y,z)
=h(x,y,z)+h(x,y,-z)
=zx^3y^3/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2[{1/L(x,y,z)}^2-{1/L(x,y,-z)}^2]
=(-2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2{1/L(x,y,z)+1/L(x,y,-z)}/{L(x,y,z)L(x,y,-z)}
=
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,z){L(x,y,-z)}^2]
-(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,-z){L(x,y,z)}^2]
=g1(x,y,z)+g2(x,y,z)
<0

S1_n<0
S2_n<0
S3_n<0

S_n
=
2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→n}g1(x,y,z)dxdydz
+2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→n}g2(x,y,z)dxdydz
=
2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→2y}g1(x,y,z)dxdydz
+2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2y→n}g1(x,y,z)dxdydz
+2∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→n}g2(x,y,z)dxdydz
=
2S1_n+2S2_n+2S3_n
<0

S_nは単調減少

x<f(x)
y<f(y)
1/f(x)<1/x
1/f(y)<1/y
x^2/(2m)<E(x)
y^2/(2m)<E(y)
1/E(x)<2m/x^2
1/E(y)<2m/y^2

0≦z≦1の時
1/L(x,y,z)<2m/x^2
1/L(x,y,-z)<1/x

y≦x≦2yの時
(1/E(x)+1/E(y))^2<4m^2(1/x^2+1/y^2)^2≦100m^2/x^4

-g1(x,y,z)
=(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,z){L(x,y,-z)}^2]
<(200m)(y^3/x)/[L(x,y,z){L(x,y,-z)}^2]
<(400m^2)(y^3/x^3)/{L(x,y,-z)}^2
<(400m^4)(y/x^5)

0
>S1_n
>∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→2y}g1(x,y,z)dxdydz
>-400m^4∫_{a→n}y∫_{y→n}(1/x^5)dxdy
=-100m^4∫_{a→n}y[-1/x^4]_{y→n}
>-100m^4∫_{a→n}(1/y^3)dy
=-50m^4[-1/y^2]_{a→n}
>-50m^4/a^2

S1_nは下に有界な単調減少数列だから収束する

y≦xの時
(1/E(x)+1/E(y))^2<4m^2(1/x^2+1/y^2)^2≦16m^2/y^4

2y≦xの時
y≦x/2
y+x/2≦x
x/2≦x-y
x^2/4≦(x-y)^2
L(x,y,-z)
=(x^2+y^2-2xyz)/(2m)+f(x)+f(y)
={(x-y)^2+2xy(1+z)}/(2m)+f(x)+f(y)
>(x-y)^2/(2m)
≧x^2/(8m)
1/L(x,y,-z)≦8m/x^2
1/{L(x,y,-z)}^2≦64m^2/x^4

-g1(x,y,z)
=(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,z){L(x,y,-z)}^2]
<(32m)x^3/y/[L(x,y,z){L(x,y,-z)}^2]
<(64m^2)(x/y)/{L(x,y,-z)}^2
<4096m^4/(yx^5)

0
>S2_n
>∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{2y→n}g1(x,y,z)dxdydz
>-4096m^4∫_{a→n}(1/y)∫_{2y→n}(1/x^5)dxdy
=-1024m^4∫_{a→n}(1/y)[-1/x^4]_{2y→n}dy
>-64m^4∫_{a→n}(1/y^5)dy
=-16m^4[-1/y^4]_{a→n}
>-16m^4/a^4

S2_nは下に有界な単調減少数列だから収束する

1/L(x,y,-z)<1/x

-g2(x,y,z)
=(2/m)z^2x^4y^4/{f(x)f(y)}(1/E(x)+1/E(y))^2/[L(x,y,-z){L(x,y,z)}^2]
<(32m)(x^3/y)/[L(x,y,-z){L(x,y,z)}^2]
<(128m^3)/(yx^2)

0
>S3_n
>∫_{0→1}∫_{a→n}∫_{y→n}g2(x,y,z)dxdydz
>-128m^3∫_{a→n}(1/y)∫_{y→n}(1/x^2)dxdy
=-128m^3∫_{a→n}(1/y)[-1/x]_{y→n}dy
>-128m^3∫_{a→n}(1/y^2)dy
=-128m^3[-1/y]_{a→n}
>-128m^3/a

S3_nは下に有界な単調減少数列だから収束する

∴
S_n=2S1_n+2S2_n+2S3_n
は
ある有限負実数
lim_{n→∞}S_n≧-100m^4/a^2-32m^4/a^4-256m^3/a
に収束する

お礼

鮮やかな回答ありがとうございました。