1/x[1]+1/x[2]+…+1/x[n]=1

質問

1/x + 1/y + 1/z = 1
の自然数解は、
(x,y,z)=(2,3,6),(2,6,3),(3,2,6),(3,6,2),(6,2,3),(6,3,2),(2,4,4),(4,2,4),(4,4,2),(3,3,3)
の10個。

x≦y≦zのもとでは、
(x,y,z)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)
の3個。

1/x + 1/y + 1/z + 1/w = 1
の自然数解は、
x≦y≦z≦wのもとでは、
(x,y,z,w)=(2,3,7,42),(2,3,8,24),(2,3,9,18),(2,3,10,15),(2,3,12,12),(2,4,5,20),(2,4,6,12),(2,4,8,8),(2,5,5,10),(2,6,6,6),(3,3,4,12),(3,3,6,6),(3,4,4,6),(4,4,4,4,)
の14個。

ですが、
1/x[1] + 1/x[2] + … + 1/x[n] = 1
の自然数解は、何個なのでしょうか？

x[1]≦x[2]≦…≦x[n]のもとでは何個なのでしょうか？

回答No.3

stomachman

似た問題をこのサイト内のどこかで見たおぼえがあって、何か難しい定理と関係していたような気がします。でも、あれはエジプト分数の事だったかもしれず、だとするとこのご質問とはまた違う話。
　ま、とりあえず

> x≦y≦zのもとでは

のほうをExcelのマクロで数えてみましたら、

n=1 1
n=2 1
n=3 3
n=4 14
n=5 147
n=6 3462
(n=7は終わらない…)

どひー。凄い勢いで増えますねー。指数関数の肩に指数関数を乗せたぐらいの感じかなあ。

　マクロは、不等式で絞り込んだ範囲の中から、「最後の分数において分母が分子で割り切れるもの」を総当たりで探す、という大雑把なやりかたです。n=6でも　(2, 3, 7, 43, 1807, 3263442)　なんてことになりますんで、n≧7の場合を数えるにはマクロじゃ無理っぽくて、もっと速い言語で多倍長整数演算を使わなくちゃいけない気がします。

回答No.2

178-tall

「エジプト分数」系の問題？
　　　　↓
参考 URL / 90. エジプト分数の問題 (09/05/11)

分数を「単位分数展開」するハナシ。
欲張り算法 (greedy algorithm) なる手口が有名らしい。

たとえば 1 の単位分数展開は？
1 に対して欲張り算法を用いると、
　1 = (1/2)+(1/3)+(1/6)
を得る。
エジプト式分数では同じ単位分数を繰り返し用いることはしない模様。

単位分数 (1/m) に欲張り算法を適用すると？
　1/m = {1/(m+1) } + [1/{m(m+1) } ]
単位分数は二つの単位分数の和に表せるわけで、任意の分数は無数に多くの単位分数展開を持つことになる。

参考URL：

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/806_ef.htm

回答No.1

asuncion

x[n]
というのは、何のことでしょうか。
べき乗ですか？仮にそうであるならば、
x^n
と書く方が、ここを見ている多くの人が理解できると思います。