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x=logxの解

xを実数とした場合、 x=log(x)は、解なしですが、 複素数まで拡張すると、 z=log(z)の解は求まりますか? 対数を外すと、 z=e^z z=exp(z) を満たすzです。 複素数まで拡張す ると、 cos(z)=3 も解けますね。 z=2nπ-ilog(3±2√2) です。 このように上記の問題も解けませんか? ランベルトのW関数を使ってW(-1)を求めればいいことは気づきました。WolframAlphaで計算させるとW(-1)≒-0.318+1.337iとなるんですが、この計算過程を知りたいんです。

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  • 178-tall
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回答No.2

たぶんきれいに書けない？ スプレッドシートでの z = LN(z) の収束先は？ (1) z = LN(z) にて、 　z = x+iy 　LN(z) = (1/2)*LN(x^2+y^2) + i*arctan(y/x) = u+iv として、zo = xo+iyo にて LN(zo) = uo+ivo を求める。 次いで、zo' = uo+ivo として LN(zo') = uo'+ivo' を求める。 …という代入を繰り返していくと、 　z" = LN(z") へ収束。 　z" ≒ 0.3181 ± 1.3372*i ということ。 (1) z = LN(z) にて、 　z = r*exp(iθ) 　LN(z) = √{ (LN(R))^2 + θ^2 } * exp{arctan(θ/LN(R)) } = R*exp(iφ) として、(1) と同様の代入を繰り返していく。 収束先は、 　1.3746 * exp(i*1.3372) ≒ 0.3181 ± 1.3372*i 　　　

その他の回答 (1)

  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.1

「ランベルトの W 関数」となると、初等関数できれいに書けそうもない模様ですネ。 ひとまず、スプレッドシートで z = LN(z) の不動点収束( fix point iteration ) を試みると、 　0.3181 ± 1.3372*i へ収束。 (複素数の arg の吟味は不十分。チェックしてみて…) 　　　

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