数学の問題なんですが

質問

2つの複素数α,βが|α|=1,|β|=3,|α+β|=√14
なお,|z|は複素数zの絶対値を,[z]はzの共役複素数を表す

(1)β[β],[α]β+α[β]の値を求める

(2)実数xが|xα+β|=3√6を満たすときのxの値を求める

(3)実数xに対して,|x+α[β]|はxの値が何のとき最小値をとるか求め,さらにその最小値の値も求める

という問題なんですがどのように求めたらいいんでしょうか？
計算過程を含めて教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

α=a+ib,β=c+idとおいてみて下さい。
但し,a,b,c,dは実数。
すると
|α|=1　⇒　a^2+b^2=1 ...(A)
|β|=3　⇒　c^2+d^2=9 ...(B)
|α+β|=√14　⇒　(a+c)^2+(b+d)^2=14 ...(C)
(A),(B)を(C)の展開式に代入
2ac+2bd+1+9=14 ⇒　ac+bd=2 ...(D)
この準備ができたら(1)の問題に取り掛かります。
(1)
β[β]
=(c+id)(c-id)=c^2+d^2=9　(∵(B)より)

[α]β+α[β]
=(a-ib)(c+id)+(a+ib)(c-id)
=ac+bd+i(ad-bc)+(ac+bd)+i(bc-ad)
=2(ac+bd)=4　(∵(D)より)

(2)
|xα+β|=|ax+c+i(bx+d)|=3√6 より
(ax+c)^2+(bx+d)^2=54
(a^2+b^2)x^2+2(ac+bd)x+c^2+d^2=54
(A),(B),(D)を代入
x^2+4x+9=54
x^2+4x-45=0
(x+9)(x-5)=0
∴ x=-9,5

(3)
F=|x+α[β]|=|x+(a+ib)(c-id)|=|x+ac+bd+i(bc-ad)|
=√{(x+ac+bd)^2+(bc-ad)^2}
(D)より ac+bd=2
(A),(B),(D)より
(bc-ad)^2=b^2c^2+a^2d^2-2abcd
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2
=1*9-2^2=5
であるから
F=√{(x+2)^2+5}
最小値をとるxはx=-2、最小値は√5

お礼

回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.2

j-mayol

複素数 a+bi　の絶対値　｜a+bi｜=√(a^2+b^2)　を利用すればよい。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

定義に従って求める.

お礼

回答ありがとうございました。