解と係数の関係について
- 解と係数の関係を計算する際、log[10]を利用すると関係式が対数になる
- 対数を利用して解と係数の関係を計算することは可能だが、証明は難しい
- 対数を利用して解と係数の関係を証明するためには別の方法を用いる必要がある
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解と係数の関係について
[10]は１０を底としているという意味です (1)（log[10]ｘ）＾2 -４log[10]ｘ ＋３＝０の解をα、β（α>β）とすると 解と係数の関係より log[10]α＋log[10]β=4 （log[10]α）（ｌog[10]β）=3が成り立ちますよね (2)Ａ＾２ -4Ａ＋３＝0の解をa,b（a>b）とすると 解と係数の関係より a+b=4 , ab=3が成り立ちます (1)はα＝1000でβ＝１０で解と係数の関係は成り立っています (2)はa=3,b=1で解と係数の関係は成り立っています ここで質問なのですが、このように計算してみると(1)と(2)で解と係数の関係が成り立っているのはわかるのですが Ａ=log[10]ｘとすると 解と係数の関係は a+b=4からlog[10]α＋log[10]β=4になりますよね 計算すると確かにそうなるのですが、証明はできないでしょうか？ 簡単にいうと 対数にすると解と係数の関係も対数になる証明が知りたいです 説明が下手で何を証明すればいいかわかりにくいかもしれませんがよろしくおねがいします
- kirofi
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おはようございます。 ただ代入しているだけのような気もしますが、 あえて書くならこんな感じになるのかと思います。 【証明】 A についての２次方程式 (1) p A^2 - q A + r = 0 が２実数解を持つとし、それらを A = a, b とおくと、 解と係数の関係 (2) a + b = - q / p (3) a b = r / p が成り立つ。今、 (4) A = log[n](x) （n > 0, x > 0） ⇔ x = n^A なる関数を定義すると、任意の A に対し x は一意である。 また、方程式(1)は (5) p { log[n](x) }^2 + q { log[n](x) } + r = 0 と書き改められ、A = a, b に対応する２実数解 x = α, β を持つ。 すなわち、 (6) a = log[n](α) (7) b = log[n](β) これらを(2)(3)に代入すれば、 (2) log[n](α) + log[n](β) = log[n](αβ) = - q / p (3) log[n](α) log[n](β) = r / p を得る。 【終】 いかがでしょう？
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お礼
回答ありがとうございます 凄くわかりやすかったです