相加相乗？

質問

正の実数ＸＹＺにおいてX+Y+Z=6 XYZ=8という連立方程式の解にX=Y=Z=２というのがあるのはわかるのですが、これが唯一の解だという証明は可能なのでしょうか？　自然数という限定があればまだできそうなきもするのですが。。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

X>0,Y>0,Z>0の場合、相加平均≦相乗平均の関係式から
(X+Y+Z)/3≦(XYZ)^(1/3)
となり、等号成立はX=Y=Zの場合に限られます。
X+Y+Z=6,XYZ=8 の時左右両辺とも"2"となり等号が成立します。つまりX=Y=Zしかありえません。
よって3X=6→X=Y=Z=2しかないことが言えます。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

間違えて不等号の向きをすべて逆にしていました。