lim(x→+0) {x(logx)^n} =0

質問

nは自然数のとき
lim(x→+0) {x(logx)^n} 　
の解き方がわかりません。

答えは，0になるとのことです。
よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

数学的帰納法的に求めればいいでしょう。
1) n=1 の時
lim[x→+0] x(log x)=lim[x→+0] (log x)/(1/x)
[-⧞/⧞型]なのでロピタルの定理を適用でき
=lim[x→+0] (log x)' /(1/x)'
=lim[x→+0]] (1/x)/(-1/x^2)
=lim[x→+0] (-x)
=0

2) n=k の時
lim[x→+0] x(log x)^k=0 ... (1)
が成り立つとする。
n=k+1 の時
lim[x→+0] x(log x)^(k+1)=lim[x→+0] ((log x)^(k+1))/(1/x)
[±⧞/⧞型]なのでロピタルの定理を適用でき
=lim[x→+0] ((log x)^(k+1))' /(1/x)'
=lim[x→+0] (k+1)((log x)^k)(1/x)/(-1/x^2)
= -(k+1) lim[x→+0] (x(log x)^k)
(1)より
=-(k+1) * 0
=0

数学的帰納法により任意の自然数nについて
lim[x→+0] x(log x)^n=0

お礼

了解しました。なるほどで，納得しました。詳しく，ありがとうございます。