逆関数定理の問題です！

質問

7.2の（1）.（2）解ける人お願いします！

定理

はGをR^nの開集合、写像f:G→R^nはGでC^1級とする。点a∈Gでf'(a)が正則、ならば、aの開近傍Uとb=f(a)の開近傍Wが存在して次が成り立つ。

（a）fはU上で単射てf(U)＝Wとなる。つまり、f|_U U→Wは全射

（b）f|_Uの逆写像をg:W→Uとすると、gはWでC^1級で、y∈W におけるgの微分係数g'(y)は次で与えられる。

g'(y)＝(f'(x))^-1 (y∈W,x＝g(y)∈U)

(C) 更に、fがUでC^k級(k>=1)ならば,gもWでC^k級となる。

たぶん、この性質を使って解くものだと思います！

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

f:R^n→R^n
0∈GはR^nの開集合
f(0)=0
fはC1級
f'(0)=I
I:R^n→R^n
I(x)=x
(1)
[f(x)が微分可能でf'(x)が連続の時fはC1級という]
だから
fはC1級だから
f'(x)は連続だから
f'(x)はx=0で連続だから[連続の定義から]
任意のε>0に対して
あるδ(ε)>0が存在して
|x|<δ(ε)→|f'(x)-f'(0)|<ε…(a)
となる
0∈GはR^nの開集合だから
{x∈R^n:|x|<δ'}⊂G
となるδ'>0がある
L=min(δ(1/2),δ')
B_L={x∈R^n:|x|<L}
とすると
x∈B_L→|x|<L≦δ'→x∈G→B_L⊂G
∀x∈B_L
|x|<L≦δ(1/2)
↓ε=1/2の時(a)から
|f'(x)-f'(0)|<1/2
↓f'(0)=Iだから
|f'(x)-I|<1/2
↓∴
|f'(x)-I|≦1/2

(2)
x,x0∈B_L⊂G
平均値の定理から
s={s_k=(1-t_k)x0_k+(t_k)x_k,0≦t_k≦1}_{k=1～n}
f(x)-f(x0)=f'(s)(x-x0)…(b)
となるs∈B_L⊂Gがある
(1)から
1/2≧|I-f'(s)|
1/2≧|I|-|f'(s)|
1/2≧1-|f'(s)|
両辺に|f'(s)|-1/2を加えると
|f'(s)|≧1/2
両辺に|x-x0|をかけると
|f'(s)||x-x0|≧(1/2)|x-x0|
|f'(s)(x-x0)|≧(1/2)|x-x0|
左辺に(b)を代入すると
|f(x)-f(x0)|≧(1/2)|x-x0|

f(x)=f(x0)
とすると
0=|f(x)-f(x0)|≧(1/2)|x-x0|
↓
x=x0
だから
fはB_L上で単射である