X^3+Y^3=Z^3の証明方法を考えていますが？

質問

Xが２桁の数の時に限って、X^3+Y^3=Z^3　が成り立つ自然数組があると仮定し次の様な証明方法を考えていますが、（３）,(4),の証明方法が思い付きません。
　誰か（３）,(4),の証明方法を教えて下さい。併せて途中の添削指導も宜しくお願いします。

　　　Xが２桁の数の時、X^3+Y^3=Z^3 が成り立つ自然数組があったと仮定する。（X<Y<Zとし、XYZは
　正の整数とする。）　X Y Z　のそれぞれ最上位桁の数を　A　a2　 a1 それ以外の数を　B 　b2　ｂ１　
と置くと　X　Y　Z は
　　　　　　　　　　　　　　X　=　A ＋　B
　　　　　　　　　　　　　　Y =　a2 + b2
Z = a1 + b1
と表す事が出来る。そうすると、X^3　Y^3　Z^3　は
　　　　　　　　　　　　　　X^3　=　A^3　＋　3A^2B　+　3AB^2　+　B^3
　　　　　　　　　　　　　　Y^3 =　a2^3 ＋　3a2^2b 2 + 3a2b2^2 + b2^3　　
Z^3 = a1^3 + 3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3
と表す事ができる。
　　　　　　　　　　X^３　　+　　Y^3 = Z^3　を移項して　X^３　=　Z^３　-　Y^3　と表すと、右辺を
　イ）　a1^3 - a2^3　= A^3 + (±△a)
　ロ）　b1^3 - b2^3 = B^3 + (±△ｂ）
　ハ） (　3a1^2b1 + 3a1b1^2) - ((3a2^2b2 + 3a2b2^2 ) = (3A^2B +3AB^2) + {- (±△a)} + { - (±△b)}
と表す。ここで　（3A^2B +3AB^2) = W と置くと、右辺（Z^3-Y^3)は
　　 ｛ A^3 ＋（±△a) } + { W +,-(±△a) + ,-（±△b) } + { B^3 + ( ±△b) } となる。
　　左辺（X^3)は　
　　　　　　　　　　　X^3　= A^3 ＋　W　＋　B^3 となる。そうすると、X^3　= Z^3 - Y^3 は
　　A^3 ＋W　+ B^3　= { A^3 + (±△a) } + { W +,- (±△a) + , (±△b) } + { B^3 + (±△b) } となる。
　この時　X^3　= Z^3 - Y^3 が成り立つと仮定した時の成り立つ形は
　(1)　A^3　＋　W　= {A^3+ (±△a) } + { W +,- (±△a) +,- (±△b) }
(2)　W + B^3　= { W +,-(±△a) +,- (±△b) } + {B^3 + (±△b) ｝
(3)　W　= { W +,-(±△a) +,- (±△b) }
(4)　 A^3　キ　｛A^3　＋（±△a) } かつ　W　キ　｛W　＋、－（±△a) +,- (±△b) } かつ　B^3　キ｛ B^3 + (±△b)｝
　　　　　　　　　の４つの形となる。これより　Xが２桁の数の時、X^3 + Y^3 = Z^3　が成り立つかどうかは、(1)(2)(3)(4)を証明すれば良い事が分かる。
　　　証明
　　　　　(1)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　　A^3 ＋W　= { A^3 + (±△a) } + { W +,-(±△a) +,-(±△ｂ）｝を移項すると
　　　　　　　　A^3 - A^3 + W - W +,-(±△a) + (±△a) = -(±△b)
0 = -(±△b)
これより　b1^3 - b2^3 = B^3　が 成り立つ事となる。これは、Xが１桁の数の時　X^3 = Z^3 -Y^3
が成り立つ事であるので表-1より（表-1は省略します。）成り立つ所が無いので、これより(1)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(1)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事がわかる。
　　　　(2)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　W + B^3 = {W＋,-(±△a) +,- (±△b) } + { B^3 + (±△b) } を移項すると
　　　　　　　W - W + B^3 -B^3 + (±△b) +,- (±△b) = (±△a)
0 = (±△a)
　　これより　a1^3 - a2^3 = A^3 が成り立つ事が分かる。ここで、A^3　（a1^3 -a2^3) の集合を考えて見ると
　　　　A^3　の集合は
　　　　　　　　　　　　　A^3 = 10^3 20^3 30^3　　　　　～　　　　　　　　　　　　90^3　　
(a1^3 -a2^3 ) の集合は（a1>a2の時）
　　　　　　　　　　　　　20^3-10^3　
30^3-20^3 30^3-10^3　　
40^3-30^3 　40^3-20^3 　40^3-10^3　
- - - - 　　　　
- - - -
100^3-90^3 100^3-80^3 ～　　　　　　　　　　10^3
- - - -
- - - -
となる。A^3　a1^3 - a2^3 の双方に１/10 をかけるとゼロを取る事が出来るので、A/10 = As, a1/10 = a1s a2/10 = a2s と表す事とする。そうすると、As^3　= a1s^3 -a2s^3 となる。これはXが１桁の数の時、X^3 = Z^3 - Y^3 、が成り立つ事と同じであるので表-１より成り立つ所がないのでこれより
(2)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(2)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事が
わかる。
(3)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　　　　　　　　　　W = { W +,-(±△a) +,-(±△b)} を移項すると
　　　　　　　　　　　　　　　　W -　W　+（±△a) = - (±△b)
(±△a) = - (±△b)
？　？　？　？　？
　　　　　　　　　　　　　　　　？　？　？　？　？
、　　ここで泥沼にはまって動けないでいます。
(4)　が成り立つと仮定した時
　　　　　　　　　　　　　　　　？　？　？　？　？
　　　　　　　　　　　　　　　　？　？　？　？　？
　　　　　誰か分かる方、(3)(4)の証明方法を宜しく御教授下さい。お願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

「ある自然数X, Y, Zが存在して, 0＜X≦99であり、しかもX^3 = Z^3 - Y^3である」と仮定したのですね。そして矛盾を導こうというのでしょう。面白いチャレンジだと思います。

> X^3　=　A^3　＋　3A^2B　+　3AB^2　+　B^3
> Y^3 =　a2^3 ＋　3a2^2b 2 + 3a2b2^2 + b2^3
> Z^3 = a1^3 + 3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3

　つまり、
　　A=(Xの最上位の桁の数字×10、B=X-A
　　a1=(Zの最上位の桁の数字×(10^(Zの桁数-1))、b1=Z-a1
　　a2=(Yの最上位の桁の数字×(10^(Yの桁数-1))、b2=Y-a2
と定義なさった。これらを X^3 = Z^3 - Y^3 に代入すれば
　　(A+B)^3 = (a1^3 - a2^3) + (b1^3 - b2^3) + 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2)　…(1)
である。ここでさらに
　　(±△a) = a1^3 - a2^3 - A^3
　　(±△ｂ) = b1^3 - b2^3 - B^3
という記号を定義すると、（なんでこんなへんてこな記号を使うのかは問わないことにして）
　　(A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△ｂ)) + 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2)　…(2)
右辺の第3項 3(a1^2b1 + a1b1^2- a2^2b2 - a2b2^2) は
　　第3項 = (a1+b1)^3 - (a2+b2)^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　　= Z^3 - Y^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　さて　X^3 = Z^3 - Y^3 だと仮定したのだから、これを使って
　　第3項 = X^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　　= (A+B)^3 - a1^3 + a2^3 - b1^3 + b2^3
　　= (3A^2B + 3AB^2) - a1^3 + a2^3 + A^3 - b1^3 + b2^3 + B^3
　　= (3A^2B + 3AB^2) - (±△a) - (±△b)
なので
　　(A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△ｂ)) + (3A^2B + 3AB^2) - (±△a) - (±△b)　…(3)
さらに
　　W = 3A^2B + 3AB^2
と定義する。ここまでは結構ですね。
　(3)式をこのWを使って書くと、
　　(A+B)^3 = (A^3+(±△a)) + (B^3+(±△ｂ)) + W - (±△a) - (±△b)　…(4)
である。ですから、

> ｛ A^3 ＋（±△a) } + { W +,-(±△a) + ,-（±△b) } + { B^3 + ( ±△b) } となる。

とお書きの所、"+,-"だなんて訳の分からない記号が現れる余地などありませんで、正しくはただの"-"です。従って、

> この時　X^3　= Z^3 - Y^3 が成り立つと仮定した時の成り立つ形は

と仰るけれども、「４つの形」など出て来やしません。

　ちなみに(4)式の右辺の無用な括弧をはずしてみれば
　　(A+B)^3 = A^3 + B^3 + W 　…(5)
つまり(1)式から、堂々巡りの挙げ句
　　X^3 = X^3　…(6)
という正しい式に到達したのだと分かります。ここまででは自然数独特の性質をまだ何ひとつ使っていない（X, Y, Zが実数であっても成立つような操作しかやっていない）。だからまだ何も出てこなくて当然、ってことです。

　また、（たとえば4通りの）場合分けをして証明するのなら、（何もご質問のような持って回ったやりかたをしなくたって）X,Y,Zに関する何か適当な性質P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)を決めて、
[1] P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)が共に成立つ場合。
[2] P(X,Y,Z)が成り立ちQ(X,Y,Z)が成立たない場合。
[3] P(X,Y,Z)が成り立たずQ(X,Y,Z)が成立たつ場合。
[4] P(X,Y,Z)とQ(X,Y,Z)がどちらも成立たない場合。
の4通りをそれぞれ検討し、どの場合にもX^3=Z^3-Y^3の解が無い事を示す、という風にやれば良いのです。もちろん、適当な（つまり、それぞれの場合について証明が簡単になるような）P, Qを見つけることこそが難しい訳ですが。

お礼

順を追って、添削指導頂きありがとうがざいました。
　　　　　確かに　ー　です。
　　　　(1)(2)(3)(4)　の　P Q　は、超難解みたいです。

回答No.2

wakko777

まず、一番最初で間違ってるぞ？

＞X　=　A ＋　B
　 Y =　a2 + b2
Z = a1 + b1

じゃなくて、

　　Ｘ＝１0Ａ＋Ｂ
　　Ｙ＝10a2+b2
　　Ｚ＝10a1+b1

でしょ。

お礼

説明不足の所を、ご指摘頂きありがとうございました。

補足

説明不足ですみません。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　X=45　Z=123　の時
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ= A + B =40 + 5
Z=a1 + b1 = 100 + 23
という様に理解して下さい。

回答No.1

Tacosan

とりあえず記号の意味がわからん.
｛ A^3 ＋（±△a) } + { W +,-(±△a) + ,-（±△b) } + { B^3 + ( ±△b) }
ってどういう意味?

お礼

中カッコでくくれずに、変な式にしてすみませんでした。
　　　御指摘頂きありがとうがざいました。

補足

すみません。
　　　　　　　　　,-(±△a)　はカッコの中の±の記号を反転して打ち込めなかった
　　　ので、そのようにうちました。ー（±△ｂ）も同様です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　宜しく御願します。