添削指導をお願いします。（その１）

質問

Xが2桁の数の時に限って、X^3+Y^3＝Z^3が成り立つ整数組があると仮定し次の様な証明方法を考えて、教授と呼ばれた方に見て頂いたら、まとめ方の稚拙さはともかく、(3)(4)の証明方法の間違いを指摘頂きました。改めて考えましたので訂正できたかどうか、下げて易しく添削指導お願いします。

設問

　Xが2桁の数の時、X^3＋Y^3＝Z^3　が成り立つ自然数組があったと仮定する。（X＜Y＜Z とし X　Y　Z　は正の整数とする。）
X　Y　Zのそれぞれ最上位桁の数を　 A　a２　a１ それ以外の桁の数を　B　b2　b１ と置くと　X　Y　Z　は
X　＝　A　+　B
　　　　　Y　＝　a２ + b２
Z 　= a１ + b１
(　例えば、X=45, Z=123, の時
　　　　　X＝A+B＝40+5
Z=a1+b１=100+23　　という表し方をする。)
と表す事ができる。そうすると、X^3　Y^3　Z^3　は
　　　　　X^3　= A^3　＋3A^2B　+ 3AB^2　＋　B^3
　　　　　Y^3　＝　 a2 ^3　＋3a2^2 b 2 + 3a2b2^2 + b2^3
Z^3　＝　 a1^3　＋3a1^2b1 + 3a1b1^2 + b1^3
と表す事ができる。
　　　X^3　＋　Y^3　＝　Z^3　を移項して　X^3　＝　Z^3　－Y^3
と表すと、右辺を
　 a1^3　－ a2^3　→　A^3 　と表しその時の過不足分を(±∆a)と表すと
イ）　a1^3 － a2^3 = A^3 + (±∆a)　となり、
b1^3－b2^3 → B^3　と表しその時の過不足分を(±∆b)と表すと
　ロ）　b1^3－b2^3=B^3＋(±∆b)
となる。そうすると　　　
　　(3a1^2b1+3a1b1^2)－(3a2^2b2 +3a2b2^2)　→ (3A^2B ＋3AB^2)と表すと
　イ) ロ)より(±∆a),(±∆b)の記号が逆に表されるので
　ハ）(3a1^2b１＋3a1b1^2)－(3a2^2b2+3a2b2^2)＝(3A^2B+3AB^2)＋(∓∆a)+(∓∆b)　となる。
　ここで　 (3A^2B＋3AB^2)　＝　W 　と表すと
　右辺(Z^3‐Y^3) は
　　 {A^3＋(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}+{B^3+(±∆b) }
となる。一方左辺　X^3は
　X^3＝　A^3　＋W　+B^3　となる。そうすると
　X^3= Z^3 ―Y^3　は
A^3+W＋B^3 ={A^3＋(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}+{B^3+(±∆b) } と表される。この時　X^3　=　Z^3 － Y^3　が成り立つと仮定した時の成り立つ形は
(1) A^3＋W＝{A^3+(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}
(2)　W＋B^3 ={W＋(∓∆a)+(∓∆b)}＋{B^3+(±∆b)}
(3)W ={W+(∓∆a)+(∓∆b)}
(4)A^3≠{A^3+(±∆a)}かつ　W≠{W+(∓∆a)+(∓∆b)} かつ　B^3≠{B^3+(±∆b)}
の４つの形となる。これよりXが2桁の数の時,X^3＋Y^3＝Z^3 が成り立つかどうかは，(1)(2)(3)(4)を証明すれば良い事が分かる。
証明
　　　(1)が成り立つと仮定した時
　　　　A^3+W＝{A^3+(±∆a)}+{W＋（∓∆a）+（∓∆b）} を移項すると
　　　　A^3－A^3+W－W＋（∓∆a）+(±∆a)= （∓∆b）
0= （∓∆b）
これより　b1^3－b2^3=B^3が成り立つ事となる。これはXが1桁の数の時　X^3＝Z^3－Y^3が成り立つ事であるので表－１より（表－１は省略します。）成り立つ所があるかどうか捜して見ると、成り立つ所がないのでこれより(1)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(1)の形で成り立つと仮定した事が間違いであることがわかる。
　　(2)が成り立つと仮定した時
　　W+B^3 = {W+（∓∆a）＋(∓∆b)}＋{B^3＋（±∆b）}を移項すると
　　W－W＋B^3－B^3＋(±∆b)+(∓∆b) = (∓∆a)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0= (∓∆a)
これより　a1^3 －a2^3 = A^3　が成り立つ事がわかる。ここでA^3, (a1^3－a2^3) の集合を考えて見ると
　A^3の集合は
　　　　A^3＝10^3　20^3　30^3　　　　～　　　90^3
(a1^3－a2^3) の集合は（a1＞a2の時）
　　　　20^3－10^3
30^3－20^3 30^3－10^3
40^3－30^3 40^3－20^3 40^3－10^3
￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢￢
　　　　　----
　　　　 ----
----
100^3－90^3 ～ 100^3－10^3
　　　　 ----
----
　となる。A^3 a1^3－a2^3　の双方に1/10をかけるとゼロを取る事ができるので 、これはXが1桁の数の時, X^3=Z^3-Y^3が成り立つ事と同じであるので表－１より成り立つ所があるかどうかを捜して見ると、成り立つ所がないのでこれより(2)の形で成り立つと仮定した事と矛盾するので、(2)の形で成り立つと仮定した事が間違いである事がわかる。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1へのコメントについてです。

お説の読み方はいろいろありましょうが、落第だという結論はどのみち同じことです。

> Xが2桁の数の時

それどころかX=1の時に限ったって、整数でのみ成立つ性質に注目しない限り、絶対に何も出ません。

お礼

分かりました。
　　ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

質問 http://okwave.jp/qa/q7354481.html の方ですね。

　あの時と同じく、やたらに記号を増やしたって、それだけじゃ何も証明できません。
　ことに、(∓Δa) とは一体何なのか、どこにも定義が書いてありませんね。でおおそらくこれは-(±Δa)を意味するおつもりなのでしょう。だったら、-(±Δa)と書きなされ。そうすれば見通しが良くなります。
　すなわち、(∓Δa)と(∓∆b)は使わないでやってごらん、ということです。
たとえば、

> A^3+W＋B^3 ={A^3＋(±∆a)}+{W＋(∓∆a)+(∓∆b)}+{B^3+(±∆b) } と表される。

というところで、(∓∆a)を-(±∆a), (∓∆b)を-(±∆b)と書き直せばこの式は
　　A^3+W＋B^3 ={A^3＋(±∆a)}+{W-(±∆a)-(±∆b)}+{B^3+(±∆b) }
である。右辺の括弧を外してみれば
　　A^3+W＋B^3 = A^3+W＋B^3　…★
という自明の恒等式です。しかも、これはA, B, W, (∓∆a), (±∆b)が一体何であるかとはまるで無関係に成立つ。なので式★は無意味な式です。

　また、式(1)で（どこからこの式が出てきたのかという事とは関係なく）(∓Δa)と(∓∆b)を使うのをやめれば
　　(1)A^3＋W＝{A^3+(±∆a)}+{W-(±∆a)-(±∆b)}
となりますね。右辺の括弧を外し、移項して整理すると、
　　(1) (±∆b) = 0
ということです。式(2)(3)(4)も同様にやると、
　　(2)(±∆a)=0
　　(3)(±∆a)+(±∆b) = 0
　　(4)(±∆a)≠0かつ　(±∆a)+(±∆b)≠ 0 かつ　(±∆b) ≠ 0
です。
　これらを眺めてすぐ分かることは「もし(1)と(2)が満たされているとすると、(3)は常に満たされ、(4)は決して満たされない」ということ。つまり「(1)(2)(3)(4)が全て満たされることは絶対ない」と分かります。しかもこれは「(±∆a)や(±∆b)は一体何のことか」ということとは全く無関係に言える結論である。なので、「X^3　=　Z^3 － Y^3」という話とも、もちろん全く無関係です。

　ですから、(1)(2)(3)(4)を幾らいじくってみても「X^3　=　Z^3 － Y^3　が成り立つか？」という話とは全然関係ないんですよ。

　そもそも、ご質問に出て来るあらゆる式は、お書きのあらゆる変数(XだのWだのa1だの(±∆a)だの)が実数の場合にも成立つような式ばかりです。そういう式だけをいくらいじくっても、「X^3　=　Z^3 － Y^3 となる整数X,Y,Zがあるか」という話には絶対に繋がりません。なぜなら、「X^3　=　Z^3 － Y^3となる実数X,Y,Z」なら幾らでもあるからです。（これは前のご質問の時にも指摘したんだけどね。）

お礼

教授と呼ばれた方と読み解きが少し違う様な気がしますが、まずは回答頂ありがとうございました。