部分集合になる、ならない

質問

１）a,b∈Ｗならばa+b∈Ｗ
２）a∈Wならばka∈Ｗ
をみたすとき、部分空間になるということですがよく意味が理解できません。

例えば
Ｗ＝（ｘ、ｙ、ｚ）∈Ｒ＾３；ｘ－ｙ＝０の場合、解答では
Ｘ１＝（ｘ１、ｙ１、ｚ１）、Ｘ２＝（ｘ２、ｙ２、ｚ２）∈ＷとおくとＸ１＋Ｘ２において
（ｘ１＋ｘ２）ー（ｙ１＋ｙ２）＝（ｘ１－ｙ１）＋（ｘ２－ｙ２）＝０
が成立するので１）が成り立つとあるのですが、
Ｗの右辺とＸ１＋Ｘ２の右辺が等しければ１）が成り立つということでいいのでしょうか？

また同様に、Ｗ＝（ｘ、ｙ、ｚ）∈Ｒ＾３；ｘ＋ｙ＋ｚ＝１の場合、解答では
ｘ∈Ｗならば
（２ｘ）+（２y）+（２y）=２(x+y+z)＝２
なので２ｘはＷに含まれない。とあるのですがｋ（ｘ＋ｙ＋ｚ）の形の右辺；２≠１；Ｗの右辺のため
２）が成り立たないということでしょうか？

どなたか力添えお願いします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

質問の主旨とか、持ち出された問題の意味が不明瞭なのですが
答えとしては「ハイ」です。

任意の和やスカラー積を使った式に対して閉じている
ベクトルの集合を線形部分空間と言います。

つまり

a, b∈ W ⇒ wa + vb ∈ W (w, v は任意のスカラー)

といいたいわけですが、これは

a, b∈ W ⇒ a + b ∈ W
a ∈ W ⇒ ca ∈ W (cはスカラー)

と同値です。

任意のスカラー倍に閉じているので、ベクトル集合が
面をなす場合、面が 原点を通らないと部分集合に
ならないことは明白だと思います。

回答No.2

30pctoff

何についての質問であるのか分かりにくいのですが、質問を
『「1)・・・　2）・・・」をみたすとき、部分空間になる』のはどうして？
として
『～～～』についてであれば、＜部分空間＞（あるいは＜ベクトル空間＞？）の定義を見てください。
「・・・」についてであれば、
単に＜集合の定義＞と＜「pならばq」というタイプの命題＞に関することですので、
定義に従って忠実に作業すればいいと思います。

（あ）例えば
「Ｗ＝（ｘ、ｙ、ｚ）∈Ｒ＾３；ｘ－ｙ＝０」の場合
「・・・」は集合Ｗの定義になっています。
念のために、Ｗはどういう集合か考えます。（集合Ｒ＾３、記号∈は既知として）
p1=(1,2,3),p2=(7,7,2),p3=(-5,4,1),p4=(-3,-3,0)を考えた時、
p1,p2,p3,p4はいずれもＲ＾３の要素になっています。記号で書けば
p1∈R^3,・・・,p4∈R^3
では、p1,p2,p3,p4はＷの要素になっているか調べます。
そのときの条件が定義「・・・」の中にある
(x,y,z)∈R^3;x-y=0
です。これの意味はＲ＾３の要素（○、△、□）が
○-△=0
を満たす（時、要素（○、△、□）はＷの要素になるということです。）
p1=(1,2,3)はＷの要素でない。「1-2=0」ではないので
p2=(7,7,2)はＷの要素である。「7-7=0」なので
p3=(-5,4,1)はＷの要素でない。「(-5)-4=0」ではないので
p4=(-3,-3,0)はＷの要素である。「(-3)-(-3)=0」なので

では次に、「解答」の補足を（＊変数の文字を変えています。）
１）a,b∈Ｗならばa+b∈Ｗ
が成り立つことの説明.。
a=(x1,y1,z1)∈W, b=(x2,y2,z2)∈W　として　
（＊厳密には「+」の定義がいると思いますが「解答」と同じにしてます）
a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)がＷの要素になるか調べるとよい。
○=x1+x2,△=y1+y2　と思い
○-△=0
となればＷの要素である。
後は確認するだけ
(x1+x2)-(y1+y2)
=x1+x2-y1-y2
=x1-y1+x2-y2
=(x1-y1)+(x2-y2)・・・（1）
ここで
a=(x1,y1,z1)∈Wより　x1-y1=0
b=(x2,y2,z2)∈Wより　x2-y2=0
（1）に代入して
(x1+x2)-(y1+y2)
・・・
=0

a+b∈W

1）は成り立つ。

蛇足1
「a,b∈Ｗならばa+b∈Ｗ」
の意味は
「Ｗのどんな要素a,bをとってきても、その和（？）a+bが必ずＷの要素になる」

（い）
また同様に、Ｗ＝（ｘ、ｙ、ｚ）∈Ｒ＾３；ｘ＋ｙ＋ｚ＝１の場合
２）a∈Wならばka∈Ｗ
が成り立たないことの説明。

先ず蛇足2
「a∈Wならばka∈Ｗ」
の意味は
「Ｗのどんな要素aと任意の実数（？）kをとってきても、kaが必ずＷの要素になる」
なので
「a∈Wならばka∈Ｗ」が成り立たないことを説明するには
「Ｗのある要素aとある実数kで、kaがＷの要素にならないものがある」（＊a,kを反例といいます）
ことを示せばよい。

では説明。
a=(1,5,-5)とすると、（＊aはa=(○、△、□)で○+△+□=1となるものなら何でもよい）
a∈W なぜなら　1+5+(-5)=1 (＊○+△+□=1を確認）
k=2とすると　（＊ここではkはどんな値でもよい）
ak=(2,10,-10)
ここで
2+10+（-10）=1にはならないので(＊akに対する○+△+□=1をチェック）
ka∈W にはならない
このa,kが反例になります。

最後に超蛇足
質問文の数学的表現（数式、集合）はもう少し厳密にされた方がいいと思います。
推測ですが、勉強されている教科書または板書の表現とは微妙に違うのではないでしょうか。

回答No.1

nag0720

Ｗの右辺ってなに？
Ｗは集合だよ。