統計学の問題です。

質問

Xn～B(n,p)(nは自然数,0<p<1)とするとき
(1)再生性　Xn+Xm～B(n+m,p), n,mは自然数
を証明しなさい。
(2)あるλ(∈(0,n))に対してp=λ/nのとき、Xnの積率母関数を用いて、ポアソンの少数の法則　lim(n→∞)Xn～P0(λ)
を証明しなさい。

という問題です。
(1)はなんとか解けましたが、(2)は全くわかりません。
どなたか解法をよろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

lim(n→∞) Xnの積率母関数 = ポアソン分布の積率母関数
を示せばよいですね。

p = λ/n の二項分布の積率母関数は [(λ/n)e^t + (1 - (λ/n))]^n
平均 λ のポアソン分布の積率母関数は　e^(λ(e^t - 1))

準備として、ネイピア数（自然対数の底） e の定義、ならびに e^a は
lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e
lim(n→∞) (1 + a/n)^n = e^a　　　・・・ (*)
であることは覚えておきましょう。っていうか、これが全て。

すると、
lim(n→∞)[(λ/n)e^t + (1 - (λ/n)]^n
= lim(n→∞)[1 + λ(e^t-1)/n]^n
( (*) より )
= e^(λ(e^t - 1))

故に、平均 λ/n の二項分布の積率母関数は n→∞ で平均 λ のポアソン分布の積率母関数に収束。積率母関数の一意性より 二項分布はポアソン分布に収束する。ちょっと乱暴だけど、こんな感じ。

(1) も確率計算をしても示せますが、積率母関数を用いると容易に証明可能です。Xn, Xm, Xn+Xm の積率母関数をMn(t), Mm(t), Mn+m(t) と書くと、

Xn ～ B(n,p)　⇔　Mn(t) = [(pe^t + (1 - p)]^n
Xm ～ B(m,p)　⇔　Mm(t) = [(pe^t + (1 - p)]^m

このとき、Xn + Xm の積率母関数 Mn+m(t) は

Mn+m(t) = Mn(t) Mm(t) = [pe^t + (1-p)]^(n+m)

Mn+m(t) は B(n+m,p) の積率母関数であるから、Xn+Xm ～ B(n+m,p)

お礼

なるほど！
とてもわかりやすく解説していただき、有り難う御座いました。
(1)も積率母関数を使った方が簡単に解けますね。