高校数学の三角形の問題!三辺が等しい正三角形の内部に点を配置した場合の問題
- 高校数学の問題で、一辺の長さが10cmの正三角形に点を配置した場合の問題です。
- 線分AM, BN, CNによって囲まれた三角形の面積を求める問題です。
- 解答の過程において正三角形を示す方法についても教えて欲しいという質問です。
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高校数学の三角形の問題です 3-11
一辺の長さが10cmの正三角形ABCにおいて辺AB,BC,CA上にそれぞれ点L,M,Nを選びAL=BM=CN=2cm となるようにする このとき、線分AM,BN,CNによって囲まれた三角形の問責を求めよ 解説は図のように3点A',B',C'をとり、△ABM∽△AB'LであるからAB'=(AB×AL)/AM=10/√21 C'M=B'L=(AL×BM)/AM=2/√21 よってB'C'=2√21-10/√21-2/√21=30/√21 △A'B'C'は正三角形であるから、求める面積は△A'B'C'=√3/4×(30/√21)^2=75√3/7となっていたのですが△A'B'C'は正三角形であるからとありますが、これが正三角形であることを明確に示せないのですが、示す事が出来ましたら是非教えてください
- arutemawepon
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>△A'B'C'の辺の長さを計算すると、メネラウスの定理により、 (AL/LB)*(BC/CM)*(MB'/B'A)=1だからMB'/B'A=16/5 AM=MB'+B'A=(16/5)B'A+B'A=(21/5)B'A、B'A=(5/21)AM (AN/NC)*(CB/BM)*(MC'/C'A)=1だからMC'/C'A=1/20 AM=MC'+C'A=MC'+20MC'=21MC'、MC'=(1/21)AM B'C'=AM-B'A-MC'=(1-5/21-1/21)AM=(5/7)AM 余弦定理によりAM^2=AB^2+BM^2-2*AB*BMcos∠ABM =10^2+2^2-2*10*2*cos(π/3)=84、AM=2√21 以上よりB'C'=(5/7)*2√21=10√21/7 同様にC'A'=A'B'=10√21/7と計算出来る。
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△ACMと△CBLにおいて、AC=CB=10cm、CM=BL=10-2=8cm、∠ACM=∠CBL=60° よって、2辺とその間の角がそれぞれ等しく合同であり、∠AMC=∠CLB △ABMと△AB'Lにおいて、∠BAM=∠B'AL(共通)、上の∠AMC=∠CLBから∠AMB=∠CLA=∠B'LA よって、2角がそれぞれ等しく相似であり、∠ABM=∠AB'L=60° ∠A'B'C'は∠AB'Lの対頂角であるから60° 同様に、∠B'C'A'=∠C'A'B'=60°になるので、△A'B'C'は正三角形である
お礼
御返答有難うございます
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有難うございます、分かりました
- hashioogi
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⊿ABCを120度回転させて重ねると、A'、B'、C'はB'、C'、A'に重なり、⊿ABCを240度回転させて重ねると、A'、B'、C'はC'、A'、B'に重なる。だからA'B'=B'C'、C'A'。 なんていういい加減な説明では納得してもらえそうにないですね。
お礼
御返答有難うございます
補足
はい、出来れば、辺の長さ等を使ってお願いしたいですね
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一辺の長さが10cmの正三角形ABCにおいて辺AB,BC,CA上にそれぞれ点L,M,Nを選びAL=BM=CN=2cm となるようにする このとき、線分AM,BN,CNによって囲まれた三角形の問責を求めよ 別解の解説で△ABCの面積をSとおく すると△ABC'=AC'/AM×△ABM=AC'/AM×S/5 ここで△AMCと直線BNについてメネラウスの定理を適用するとAC'/MC'×MB/BC× CN/AN=1 よってAC'/AM=20/21 明らかに△BCA'=△CAB'=△ABC'であるから求める面積はS-3△ABC'=S-3×20/21×S/5=3S/7=75√3/7となっていたのですが 明らかに△BCA'=△CAB'=△ABC'の所合同である事の証明をお願いします、自分でもやりましたが、最後の一辺が見つかりませんでしたい
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お礼
御返答有難うございます
補足
有難うございます、分かりやすかったです、御二方共分かりやすかったので、どちらをベストアンサーにしようか迷いますね、もうちょっと考えてから決めますね