数学的帰納法による証明の問題なのですが・・・

質問

３＾n＞n^2＋ｎの証明なのですが、
まずn=1が成立することを確認する。
その後n=kが成り立つときにn=k＋１が成り立つことの証明なのですが、
３＾n－n^2－ｎ＞０ を考えるのはわかるのですが、どうしても＞０ということを確認するための式への持っていき方がわかりません。
どなたか詳しく教えてもらえませんか。

回答No.3

RitsueiJuk

n=kが成立と仮定
3^k>k^2+k
両辺x3
3^(k+1)>3k^2+3k=(k^2+k)+2(k+1)k>(k^2+k)+2(k+1)=(k+1)^2+(k+1)
最後はk>1なので言えます
よってn=k+1でも成立

両辺３倍、kの２乗+kの３個を１個と２個に分けます。
２個の方のkが無い2(k+1)のバージョンはなんとn=k+1の右辺を展開したものになっているという事です。

回答No.2

LKomi

＞0を直接考えるのは無理があると思います。
3^(k+1)-(k+1)^2-(k+1)＞3^k-k^2-k　(＞0)
を証明できればよいと考えます。
左辺-右辺=2*3^k-2(k+1)ですが、これが0より大きいのを証明するのも面倒なのでさらに帰納法を使います。

2*3^k-2(k+1)＞0をkが自然数で成り立つのを証明する。

k=1のときは2となり明らかに＞0
k=mで成り立つとすると、同じ理論により
2*3^(m+1)-2(m+2)＞2*3^m-2(m+1)を証明すればよいことになります。
左辺-右辺=4*3^m-2となり、これはm≧1のとき成り立つのは明らかです。

これで証明できます。

回答No.1

naniwacchi

帰納法を用いて、不等式を証明するのは少しやっかいですね。

n=kの式は、「条件式」のように扱うと上手くいきます。
3^k ＞ k^2+k …(1)

n=k+1のときは、(左辺)－(右辺)＞０となることを証明することを考えます。
3^(k+1) - {(k+1)^2+(k+1)} = 3*3^k - (k^2+…)

ここで、(1)式を用います。
3^kが kの多項式に置き換えられたらなぁ…ということをかなえてしまいます。
あとは、計算あるのみです。