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数学的帰納法の問題
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√1・2+√3・4+・・・+√(2n−1)・2n<n(2n+1)/2 n=kのとき成り立つと仮定すると √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k<k(2k+1)/2 ここで両辺に√(2(k+1)−1)・2(k+1)を加えると √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2(k+1)−1)・2(k+1)<k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1) ……① 目的は √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2(k+1)−1)・2(k+1)<(k+1)(2(k+1)+1)/2 ……② を証明することでしたね。 ですからここで ①の右辺の k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)と ②の右辺の (k+1)(2(k+1)+1)/2 で k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)<(k+1)(2(k+1)+1)/2 となってくれれば②が証明されることになります。 (①の右辺<②の右辺だから) √1・2+√3・4+・・・+√(2k−1)・2k+√(2(k+1)−1)・2(k+1)<k(2k+1)/2+√(2(k+1)−1)・2(k+1)<(k+1)(2(k+1)+1)/2 だからご質問のような大小比較をするのです。
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