数学的帰納法を使った証明問題について

質問

質問ばかりで申し訳ないです。

(1)Σ[n,k=1]1/k^2<2-1/n (n≧2)

(2)Σ[n,k=1]k^4=1/30*n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n+1)

(3)a_k>0 (1≦k≦n,n≧2) ⇒ Π[n,k=1](1+a_k)>1+Σ[n,k=1]a_k

数学的帰納法を使って解くのですがまったくと言っていいほどわかりません。
どれか1つでもいいのでわかる方はお願いいたします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

そういうことなら OK. 基本的には全て「右辺がどうなればうれしいか」を考えればいいんだけど, 帰納段階のみいきますね.
(1) n = N と n = N+1 で右辺の差は [2-1/(N+1)] - [2-1/N] = 1/N(N+1). なので, 1/(N+1)^2 < 1/N(N+1) ということ (これは N < N+1 より自明) を使えばいいことがわかって, 次のようになります:
Σ1/k^2 < 2-1/N を仮定して両辺に 1/(N+1)^2 を加える. 右辺は
[2-1/N] + 1/(N+1)^2 < 2 - 1/N + 1/N(N+1) = 2-1/(N+1)
よりこの不等式は n=N+1 でも成り立つ.
(2) あれ? この式, 間違ってませんか? n=1 のときに右辺が 1 にならないような気が....
(3) これは x, y > 0 のとき (1+x)(1+y) = 1+x+y+xy > 1+x+y であることからすぐ得られます.

お礼

回答ありがとうございます。
(2)はΣ[n,k=1]k^4=1/30*n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)でした。
問題間違ってましたね。

なんとか解けました。

回答No.1

Tacosan

すべて
・まず n=1 (あるいは 2) のときに成り立つことを示す
・n = N のときに成り立つと仮定して n=N+1 でも成り立つことを示す
という 2段階でいくだけです.
特に (2) なんか最終結果もわかっているわけだから「まったくと言っていいほどわからない」というのは「帰納法がわからない」というのとほとんど同義のような気がするぞ.

お礼

回答ありがとうございます。
文が悪かったですね。
証明の流れはわかるんですが、n=kを利用してどこでくくればn=k(m)+1の形が成り立つのかを示すのが苦手なんです。