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帰納法による証明

問題:0≦a≦bならば、任意のn∈Nに対してa^n≦b^nであることを示せ。 [証]数学的帰納法より [1]n=1のとき (左辺)=a,(右辺)=b 条件よりa≦bとなり成立。 [2]n=kで成立すると仮定すると、a^k≦b^k n=k+1のときb^k+1-a^k+1≧0を示す。 b^k+1-a^k+1=...ここからどうすればいいのでしょうか?

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noname#17487
noname#17487

b^k≧a^k   0≦a≦bよりb^k・b≧a^k・b≧a^k・a ∴b^k・b-a^k・a≧0 ∴b^(k+1)-a^(k+1)≧0 ∴b^(k+1)≧a^(k+1) この様にn=k+1の時も成り立つ。 以上を参考にして下さい。

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 b^(k+1)-a^(k+1) = (b-a)(a^kb^0+a^(k-1)b^1+…+a^1b^(k-1)+a^0b^k) が成り立つと思いますが確認してません  一方 inductionを使いますが別の証明もあります. a^k<b^kのとき 0<a<bよりa^(k+1)=a(a^k)<a(b^k)<b(b^k)=b^(k+1)

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noname#21219
noname#21219

仮定より、a^k≦b^kです 両辺にaをかけると a^(k+1)≦ab^k ab^k=b^(k+1)・a/bより a^(k+1)≦ab^k はa^(k+1)≦b^(k+1)・a/bですが 書き換えると b/a・a^(k+1)≦b^(k+1)となり a^(k+1)≦b/a・a^(k+1)より a^(k+1)≦b^(k+1)

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