独立事象[問](1) (C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩C3^kを得るために

質問

識者の皆様宜しくお願い致します。

[問](1) (C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩C3^k
を得るために公式ア…C1∩(C2∪C3)=(C1∩C2)∪(C1∩C3)と公式
イ…C1∪(C2∩C3)=(C1∪C2)∩(C1∪C3)を一般化せよ。
(2) C1,C2,…,Ckが夫々,確率p1,p2,…,pkを持つ独立な事象であることを言え。
(3) C1,C2,…,Ckの少なくとも一つの確率が1-(1-p1)(1-p2)…(1-pk)に等しいという
事を述べよ。
[解]
(1)は帰納法を使えば直ぐに言えると思います。
(2)と(3)はどうすればいいのでしょうか?

回答No.4

koko_u_

>∀x∈(C1∩(C2∪C3))を採ると,x∈C1∧x∈C1∪C2⇒x∈C1∧(x∈C2∨x∈C3)
> ⇒(x∈C1∧x∈C2)∨(x∈C1∧x∈C3)⇒x∈(C1∩C2)∪(C1∩C3)
> ∴ (C1∩(C2∪C3))⊂(C1∩C2)∪(C1∩C3)

ダメです。
集合の分配法則を論理式の分配法則に置き換えただけです。証明を論理式のそれに先送りしているだけです。

>>>k-1(k>3)の時,等式成立と仮定すると
> 「何の等式」が成立しているのかわかりせん。
>
>C1∩(C2∪C3∪…∪Ck-1)=(C1∩C2)∪(C1∪C3)∪…∪(C1∩Ck-1)
>
> です。

恐らく、帰納法の途中の式と結論として得るべき一般式を混同しています。
最終的に「何の等式」が成立することを証明しようとしているのか明言しなければならない、という指摘です。

>具体的にどのようにして証明するのでしょうか?
>ご教示ください。

それを考えるのが貴方に残された最後の仕事です。

回答No.3

koko_u_

>スイマセン。失礼致しました。
>k=3の時,C1∩(C2∪C3)=(C1∩C2)∪(C1∩C3)…(1)
> はベン図より成立。

ベン図では「証明」にはなりません。地道に証明して下さい。

>k-1(k>3)の時,等式成立と仮定すると

「何の等式」が成立しているのかわかりせん。

自分だけわかっていても、明示的に言明しなければ誰もそれを知ることはできません。
この問題は、より一般的化された「分配則」を提示して、それえを証明、元々の(1)はその特殊な場合である、というロジック
です。

お礼

ありがとうございます。

> ベン図では「証明」にはなりません。地道に証明して下さい。

∀x∈(C1∩(C2∪C3))を採ると,x∈C1∧x∈C1∪C2⇒x∈C1∧(x∈C2∨x∈C3)
⇒(x∈C1∧x∈C2)∨(x∈C1∧x∈C3)⇒x∈(C1∩C2)∪(C1∩C3)
∴ (C1∩(C2∪C3))⊂(C1∩C2)∪(C1∩C3)

>>k-1(k>3)の時,等式成立と仮定すると
> 「何の等式」が成立しているのかわかりせん。

C1∩(C2∪C3∪…∪Ck-1)=(C1∩C2)∪(C1∪C3)∪…∪(C1∩Ck-1)

です。

> 自分だけわかっていても、明示的に言明しなければ
> 誰もそれを知ることはできません。
> この問題は、より一般的化された「分配則」を提示して、
> それえを証明、元々の(1)
> はその特殊な場合である、というロジック
> です。

具体的にどのようにして証明するのでしょうか?
ご教示ください。

回答No.2

koko_u_

>と出来ました。
できてねえって。

問題文には「1.2.5 を一般化せよ」とあるので、分配法則を一般化して、
そこから「(C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩C3^c」を導出して下さい。

お礼

>>と出来ました。
> できてねえって。
> 問題文には「1.2.5 を一般化せよ」とあるので、分配法則を一般化して、
> そこから「(C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩C3^c」を
>導出して下さい。

スイマセン。失礼致しました。
k=3の時,C1∩(C2∪C3)=(C1∩C2)∪(C1∩C3)…(1)
はベン図より成立。
k-1(k>3)の時,等式成立と仮定すると
C1∩(C2∪C3∪…∪Ck-1)=(C1∩C2)∪(C1∪C3)∪…∪(C1∩Ck-1)…(2)と言える。
kの時はC1∩(C2∪C3∪…∪Ck)=C1∩((C2∪C3∪…∪Ck-1)∪Ck)
=C1∩(C2∪C3∪…∪Ck-1)∪(C1∩Ck)(∵(1))
=(C1∩C2)∪(C1∪C3)∪…∪(C1∩Ck)(∵(2))
よって帰納法から全てのkで分配法則(1)成立。
同様にして(2)の成立も示される。
次に(C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩Ck^cについてですが
k=2の時,(C1∪C2)^c=C1^c∩C2^c…(1)は成立する。
ん?分配法則から
(C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩Ck^cが導けれますかね?

回答No.1

koko_u_

>(1)は帰納法を使えば直ぐに言えると思います。
「公式を一般化せよ」とあるので、(ア)と(イ)をどのように一般化するのかを考えねばなりません。

>(2) C1,C2,…,Ckが夫々,確率p1,p2,…,pkを持つ独立な事象であることを言え。
問題文が意味不明です。

>(3) C1,C2,…,Ckの少なくとも一つの確率が1-(1-p1)(1-p2)…(1-pk)に等しいという事を述べよ。
同じく意味不明です。

お礼

すいません。
大変失礼致しました。

> 同じく意味不明です。

訂正いたします。

1.2.5
ベン図を使うと,空間Cは円を含む長方形で囲まれた点の集合である。
次の集合を比較せよ。これらの法則は分配法則と呼ばれる。
(1) C1∩(C2∪C3)と(C1∩C2)∪(C1∩C3)
(2) C1∪(C2∩C3)と(C1∪C2)∩(C1∪C3)

1.4.13
(C1∪C2∪…∪Ck)^c=C1^c∩C2^c∩…∩C3^kを得る為に1.2.5を一般化せよ。
C1,C2,…,Ckが夫々確率p1,p2,…,pkを持つ独立な事象と仮定せよ。
C1,C2,…,Ckの少なくとも一つの確率が1-(1-p1)(1-p2)…(1-pk)に等しいという事を述べよ。

でした。本当にすいません。

一応,一般化ですがk=2の時,(C1∪C2)^c=C1^c∩C2^c…(1)は成立する。
k-1(k>2)の時,(C1∪C2∪…∪Ck-1)^c=C1^c∩C2^c∩…∩Ck-1^c…(2)成立と仮定すると
(C1∪C2∪…∪Ck)^c=(C1∪C2∪…∪Ck-1)^c∩Ck^c (∵(1))
=(C1^c∩C2^c∩…∩Ck-1^c)∩Ck^c (∵(2))
=C1^c∩C2^c∩…∩Ck
よって数学的帰納法から任意のk(≧2)で等式は成り立つ。

と出来ました。

C1,C2,…,Ckの少なくとも一つの確率が1-(1-p1)(1-p2)…(1-pk)に等しい事はどうすれば言えるのでしょうか?