事象A、Bが独立であることの図形的意味

質問

事象A、Bが独立であるときは、条件付き確率P(A|B)と確率P(A)の間に P(A|B)=P(A) の関係があるということですが、この等式は次の『　』内のようなことを表しているのでしょうか。

『このAを表す円、Bを表す円、全事象を表す長方形を、それらを構成する根源事象の数に比例した面積で描くとき、図形的には、「円Aの面積に対する円Aと円Bの重なる部分の面積の比が、長方形に対する円Aの面積に対する比に等しい。』

もし、上記の『　』内が誤りであれば、上記の等式 P(A|B)=P(A) は図形的にはどのようなことを表しているのでしょうか。

素人で、高校レベルの確率の初歩を勉強しています。やさしい解説をいただけるとありがたいです。

回答No.1

pontiac_gp · ベストアンサー

>事象A、Bが独立であるときは、条件付き確率P(A|B)と確率P(A)の間に P(A|B)=P(A) の関係があるということですが

P(A|B) = P(B)の間違いと思います。
面積で例えれば、
Aの面積に占めるAとBの重なりの面積の割合　と
Uの面積に占めるBの面積の割合　が等しい
ということになりそうです。

ただ、経験上面積に置き換えても理解の助けにならないというか
何か応用するインスピレーションが得られないと思うんですけど。

お礼

たいへんよく分かりました。
有り難うございました。

回答No.3

zk43

独立の定義としては、P(A∩B)=P(A)P(B)の方が良いと思います。
A,Bどちらも起こる確率はA,Bそれぞれの起こる確率の積であると。
この方がA,Bに関して対称ですし。
また、３個以上の事象の場合でもP(A1∩…∩An)=P(A1)…P(An)
が事象A1,…,Anが独立ということになる。

P(A∩B)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)から、P(A|B)=P(A)となる。
逆にこの両辺にP(B)を掛ければ、P(A∩B)=P(A)P(B)となる。
また、P(A∩B)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)から、P(B|A)=P(B)ともなる。

P(A|B)=P(A)は意味としては、Bが起ころうが起こるまいが、Aの起こる
確率は同じ。

P(A∩B)=P(A)P(B)から、P(A∩B)/P(B)=P(A)/P(Ω)（Ωは全事象）
となって、図形的には、面積A∩Bが面積Bに占める割合が、面積Aが
面積Ωに占める割合に等しい、つまり、全事象がΩのままでも、
全事象をBに制限しても、Aの全事象に占める割合は変わらないと考え
られますが、独立の場合は、図形的に考えるよりも、確率の意味を
考える方が良いと思います。
問題をやっていくうちに出会うと思いますが、直感的には独立とは
思えない事象でも、P(A∩B)=P(A)P(B)が成り立つ場合があります。
図形的に考えるのは理解の助けになる場合もありますが、必ずしも
そこにあてはめて考えなくても、確率的な意味を考える方が理解しやす
い場合があります。基本は確率空間ですが、いつもそれを考えているわ
けではないです・・・

お礼

たいへんよく分かりました。
有り難うございました。

回答No.2

pontiac_gp

No1のものですが、P(A|B)=P(A)であっています。
大変失礼しました。