確率事象の独立について

質問

確率事象の独立性について

事象Ａ、Ｂがあって、ＡとＢが独立であれば、Aの余事象とBも独立ですか？
また、Aの余事象とBの余事象は独立ですか？

どなたか教えてください。m(__)m

回答No.1

eroermine · ベストアンサー

A と B が独立とする。
Aの余事象がBの余事象に依存する場合、AがBの余事象に依存。
Bの余事象がBに依存することは明らかだから A が B に依存することになる。
前提と矛盾。
よってAの余事象とBの余事象は独立

>Aの余事象とBも独立ですか？
先にこれを述べるべきでした。

お礼

ありがとうございました。m(__)m

回答No.3

gef00675

P(A∩B)=P(A)P(B)とする。
A^c∪A=全事象　だから
B=(A^c∪A)∩B=(A^c∩B)∪(A∩B)
A^c∩A=空事象　だから、
P(B)=P(A^c∩B)+P(A∩B)
=P(A^c∩B)+P(A)P(B)
よってP(A^c∩B)=(1-P(A))P(B)=P(A^c)P(B).

P(A^c∩B^c)=P(A^c)P(B^c)も同様。

お礼

ありがとうございました。m(__)m

回答No.2

gef00675

ＡとＢが独立であることの定義
P(A∩B)=P(A)P(B)
から、
P(A^c∩B)=P(A^c)P(B)　　(A^cはAの余事象）
および、
P(A^c∩B^c)=P(A^c)P(B^c)
を導けばよい.

補足

ご返信いただきありがとうございます。

差し支えなければ、導き方も教えていただけませんでしょうか？m(__)m