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初歩的な確率の問題
大学の課題です。 条件付確率、事象の独立の項の問題なのですが、 (1) ・事象AとBは独立 ・事象A´(Aの余事象)とBは独立 ・事象AとB´(Bの余事象)は独立 ・事象A´とB´は独立 という四つの命題が同値であることを示したいのですが、どのようなステップを踏んでとけばよいのかわかりません。 当方文系で数学恐怖症にて、なんのアイデアも思い浮かびません。 (2) P(A)P(B)とP(A∩B)はどう違うのですか? どちらか一方でも構いません。テキストやネットを調べてもわかりません… どなたかご教授のほどよろしくお願いいたします。
- betty372
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(2)について問題で考えてみましょう。 赤球が2つ、白球が3つ入っている箱があります。この箱から球を1つずつ2回取り出し、「1回目に赤球が出る」という事象をA、「2回目に赤球が出る」という事象をBとします。 a)1回目に取り出した球を元に戻さない場合 ・P(A)を求めよ。 ・P(A∩B)を求めよ。 ・P(B)を求めよ。 ・P(A∩B)=P(A)P(B)が成立するか吟味せよ。 b)1回目に取り出した球を元に戻す場合 ・P(A)を求めよ。 ・P(A∩B)を求めよ。 ・P(B)を求めよ。 ・P(A∩B)=P(A)P(B)が成立するか吟味せよ。 a)の場合は、1回目に赤球を取り出すと2回目は「赤1個、白3個」から取り出す、1回目に白球を取り出すと2回目は「赤2個、白2個」から取り出すことになります。これは1回目に取り出した球と2回目に取り出す球が独立でないことを示します。 b)の場合はどうですか? 独立の定義はP(B|A)=P(A∩B)/P(A)がP(B)に等しいことです。すなわちP(A∩B)=P(A)P(B)であることが独立であるための必要十分条件になります。 これを踏まえて(1)に取り掛かって下さい。 ちなみに、1つめと4つめの同値は、他でまったく同じ質問がありましたので参考URLに記載します。 これがいえれば2つめと3つめの同値もいえたことになります。(A''=Aがヒント) 1つめと2つめの同値は、P(A'∩B) + P(A∩B) = P(B)がヒントです。
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お礼
すばやいご回答ありがとうございます。 回答中の(a),(b)について検討してみました。とてもわかりやすかったです。過去の質問についてもありがとうございました。探し不足でした。 これからがんばってレポートに取り組みます。 助かりました。