目覚める確率

質問

事象Ａ,Bがあり,AとBがともに起こる確率Ｐ(A∩B)は
(a)AとBが独立のとき
P(A∩B)=P(A)・P(B)・・・・(1)
(b)AとBが独立でないとき
P(A∩B)=P(A)・PA(B)
PA(B)とはAが起きたという条件のもとでＢが起きる確率である。

これを理屈を考えず、丸暗記してました。そうしたら以下のような問題でつまずきました。
Ａ,B,Cの３人でじゃんけんをして,勝者を1人選ぶ,3人あいこならじゃんけんを繰り返し,2人勝ちならば勝った２人で決戦するものとする。このときＡが２回目で優勝する確率を求めよ。
解(1)3人→3人→A(→(1)1/3(2)1/9)
(2)3人→2人→A(→(1)2/9(2)1/3)
矢印の上の数を掛けることによってAが２回目で優勝する確率は
1/3・1/9+2/9・1/3=3/27=1/9

(2)3人→2人→Aの確率が2/9・1/3ですよね。この部分が理解できません。
3人→2人の部分を事象Ａ,2人→Aの部分を事象Ｂとします。
事象Ａの確率にはAとBが勝つやAとＣが勝つという事象を含み,事象Ｂの確率はＡとＣが対戦してAが勝つ、AとBが対戦してＡが勝つという事象が含まれますよね。
これを掛けてしまうと、AとBが勝ちかつAとCが対戦してAが勝つという本来は起こりえない事象を考えてしまっているのではないかと思ってしまいます。場合の数の掛け算（積の法則）であれば,樹形図をイメージすれば理解できるんですが確率の掛け算というものがどうもピンときません。

説明するのは難しいかと思いますが、確率の得意な方、問題の疑問の解説と確率の掛け算について教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

確率の計算、とくに確率同士を直接掛け合わせて計算していると、
いまのようにいろんな疑問がわいてくることが多いですね。

＞(2)3人→2人→Aの確率が2/9・1/3ですよね。この部分が理解できません。
これは質問冒頭の Ｐ(A∩B)の (b)の場合になります。

＞3人→2人の部分を事象Ａ,2人→Aの部分を事象Ｂ
もう少し正確を期すと、それぞれの事象は次のように言えますね。
・事象Ａは、「（1回目の勝負において）3人のうち Aを含む 2人が勝ち残ること」
・事象Ｂは、「（2回目の勝負において）Aともう 1人が勝負して Aが勝つこと」

2回目の勝負は、1回目に勝ち残った「Aと誰か」との勝負を考えているので、
＞AとBが勝ちかつAとCが対戦して
といった事象は含まれていません。

確かに説明は難しいのですが・・・＾＾；
また、疑問なところがあれば補足してください。