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確率
確率の問題で、自分なりに解答をだしてみました。 問 事象A,Bが互いに独立であり、P(A)=1/2,P(B)=1/3であるとき、 P(A∩B)P(A∪B)の値を求めよ。 解 P(A∩B)=P(A)×PA(B)=(1-1/2) × (1-1/3)=1/3 P(A∪B)=P(A)×P(B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/3=1/2 よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/3×1/2＝1/6となる。 自分ではこのように解いたのですが、これでいいのでしょうか。 だれか教えていただけませんか。 宜しくお願いします。
- tkoh
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- kumipapa
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＞ P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/2×1/3=1/6 ＞ P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/6=2/3 ＞ よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×2/3＝1/9となる。 その通りだと思います。 しかし、何のために P(A∩B) P(A∪B) を計算させるんでしょうね。 どうでも良いことかも知れませんが。
- kumipapa
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＞ 解 P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/6 ＞ P(A∪B)=P(A)×P(B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/3=1/2 ＞ よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×1/2＝1/12となる。 ２行目で P(A∪B) = P(A)×P(B) としているのはなぜですか？ 単に P(A∪B)= P(A) + P(B) - P(A∩B) とすべきではないでしょうか。 また、P(A∪B) = P(A) = 1/2 になるのは何だかおかしくないですか？ ２行目の P(A∩B) の代入値が間違っています。
- kumipapa
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＞ ここのところは、P(A∩B)＝1/2×1/3＝1/6という計算でよいでのしょうか 良いです。っていうか、P(A∩B) = P(A) P(B) が成立することが、 A と B が互いに独立であることの定義でしょう。 教科書によって書き方に多少の違いがあるのだろうと思いますが、 A, B が独立 ⇔ P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B) （Bという条件があってもなくてもAである確率は変わらない。Aという条件があってもなくてもBである確率は変わらないということ。条件付確率と周辺確率とが一致する） これが基本的な定義（だと私は思う）。 P(A|B) = P(A∩B) / P(B) より、 A, B が互いに独立 ⇔ P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B) ⇔ P(A∩B) = P(A) P(B)
お礼
すいません。途中計算が間違っていました。 再度計算したところ、 解 A,Bが互いに独立であるので P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/2×1/3=1/6 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/6=2/3 よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×2/3＝1/9となる。 との値がでました。 kumipapaさんのおかげでようやくここまでたどり着くことができました。 ありがとうございました。 もし、この値が間違っていたら教えて下さい。 宜しくお願いします。
補足
kumipapaさん回答ありがとうございます。 アドバイスをもとに、再度計算をしてみました。 問 事象A,Bが互いに独立であり、P(A)=1/2,P(B)=1/3であるとき、 P(A∩B)P(A∪B)の値を求めよ。 解 P(A∩B)=P(A)×P(B)=1/6 P(A∪B)=P(A)×P(B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/2+1/3-1/3=1/2 よって、P(A∩B)P(A∪B)＝1/6×1/2＝1/12となる。 このような値がでましたが、これでよろしいいのでしょか。
- kumipapa
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＞ 解 P(A∩B)=P(A)×PA(B)=(1-1/2) × (1-1/3)=1/3 B ⊆ A という条件もないのに P(A∩B) = 1/3 = P(B) になるのは、変じゃないか・・・と思いませんか？
補足
回答ありがとうございます。 kumipapaさんの通り、P(A∩B) = 1/3 = P(B) になるのはおかしいです。 では、ここのところは、P(A∩B)＝1/2×1/3＝1/6という計算でよいでのしょうか。 回答をよろしくお願いします。
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