場合の数と条件付き確率について

質問

条件付き確率は
「2つの事象A,Bに対して事象Aが起こったという条件の下で、事象Bが起こる条件付き確率PA(B)は次のように定義される。
PA(B)=P(A∩B)/P(A)
このPA(B)=P(A∩B)/P(A)は　PA(B)=n(A∩B)/n(A)の右辺の分子分母をn(U)で割ったものである」

ということは
PA(B)=n(A∩B)/n(A)　　で条件付き確率は求められるということですよね。

「20本中2本の当たりが入っているクジがある。
1回クジを引いた後、そのクジを元に戻さないで、さらにもう一回クジを引く。
このとき、2回とも当たりを引く確率を求めよ。」

という問題の場合は

事象Aは：引いた2個のクジの1回目に引いたクジが当たり
事象Bは：引いた2個のクジの2回目に引いたクジが当たり

とおいて

事象Aの場合の数 n(A)=2c1x19c1=38 通り
事象Aと事象Bがともに起こる場合の数 n(A∩B)=2c1×1c1 2通り
よって、PA(B)= n(A∩B)/n(A)=2/38=1/19　

で求められました。

しかし
「同形の赤球6個、白球4個の入った袋から
まず球を1個取り出し、それを元に戻さないで、さらに1個の球を取り出すとき
取り出した球が2個とも赤球である確率を求めよ」
という問題の場合
同じように

事象Aは：引いた2個の球の1回目に引いた球が赤
事象Bは：引いた2個の球の2回目に引いた球が赤

とおいて

事象Aの場合の数 n(A)=6c1x9c1=54 通り
事象Aと事象Bがともに起こる場合の数 n(A∩B)= 6c1×5c1 = 30通り

としたのですが解が合いません。
本当の解は1/3となっています。
私の考え方はどこが間違っているのでしょうか?
よろしくお願いします。
他に解き方があるのはわかっていますがこの方法で解いてみたいのでお願いします。

回答No.1

Quattro99 · ベストアンサー

両方とも間違ってますよ。
例1は、1/190です。あなたが計算した1/19というのは「1回目に当たりを引いた場合に2回目も当たりを引く確率」です。
例2であなたが計算したのも「1回目に赤球を引いた場合に2回目も赤球である確率」です。
それらは「2回ともあたりである確率」や「2回とも赤球を引く確率」ではありません。要するに違う確率を求めているのですから解が合わないのも当然です。

補足

ありがとうございます。
例1の問題は、一応解答はあっています。
テキストにのっている解答は
P(A⋀B)=P(A)×P A(B)
の公式を使って解いた解答なのですが
これと解答が同じなので
この問題は「1回目に当たりを引いた場合に2回目も当たりを引く確率」を問う問題なのだと思います。

例2も条件付き確率について解説するページの問題なので
「「1回目に赤球を引いた場合に2回目も赤球である確率」を問う問題だと思います。

回答No.2

Quattro99

問題文を一字一句変えずに書いてみてください。
「2回とも当たりを引く確率」と「1回目に当たりを引いた場合に2回目も当たりを引く確率」では全く意味が違います。
また、「取り出した球が2個とも赤球である確率」は「1回目に赤球を引いた場合に2回目も赤球である確率」ではありません。なぜ、条件付き確率を説明するページにそういう問題があるのかはわかりませんが、解が1/3なら「取り出した球が2個とも赤球である確率」であるはずです。「1回目に赤球を引いた場合に2回目も赤球である確率」は5/9です。

お礼

今問題文を書き写している途中で自分の間違いに気づきました。
解答No.1で指摘されている通りの勘違いをしていました。
頭がこんがらがっていて気が付きませんでした。
申し訳ないです。
ありがとうございました。
本当にすみません。