条件つき確率の問題の解釈（数B）

質問

簡単に言うと、Pa(b)とP(a∧b)の違いみたいなのがよく分らないんですが、どなたか分りやすく教えてもらえませんか？下の問題のように、ちょっと解釈がしずらいです。

問題　
100本のくじの中に10本の当りがある。A君、B君の順でくじを１本ずつ引くとき、次の確率を求めよ。ただし引いたくじは戻さないとする。
(1)A君があたりを引いたとき、B君があたりを引く確率
(2)A君があたりを引いき、B君もあたりを引く確率

回答　
A君,B君があたりを引く事象をそれぞれa,bとする時
(1)Pa(b)　＝P(a∧b) / P(a)
　＝(10/100)×(9/99)/(10/100)
　　　 　＝1/11

(2)P(a∧b)＝10/100
＝1/10

同時に出題されればなんとなく違いは分るんですが、どちらかだけ聞かれた場合は自信有りません。

回答No.2

poohron · ベストアンサー

とりあえず、気になった点を2つ。
◆（2）の回答、合ってますか？
P(a∩b）＝1/10になるのは
A君があたりを引いたあと、「引いたくじを戻している」場合ではないでしょうか？

正しい答えは
P(a∩b）＝(10/100)×(9/99)
　　　　＝1/110
だと思います。

◆(1)の全事象は正しくは
｛「Ａ君があたり、且つ B君もあたり」、「Ａ君があたり、且つ B君はハズレ」｝
ではないかと思うのですが…。
単なる私の勘違いかも知れませんが。

ところで、Pa(b)とP(a∩b)の違いですが…。

Pa(b)　：『aという事象が既に発生した』後で『bという事象が発生する』確率
P(a∩b)：『aという事象がこれから発生する（かもしれない）』時に『bという事象が発生する』確率

と考えてみてはどうでしょう。

今回の場合、以下のように言い換えることができます。

Pa(b)　：『A君があたりを引いた』後で『B君があたりを引く』確率
※『A君があたりを引いた』という事象aは既に起こっていますから、
　事象aの確率＝100%として事象bの確率のみ考えればOK。
　（ただし、「引いたくじは戻さないとする。」という設問から
　「99本のくじの中に9本の当りがある」という前提に変わる点に注意）

P(a∩b)：『A君があたりを引くかもしれない』時に『B君もあたりを引く』確率
※A君はあたりを引くかもしれないし、ハズレを引くかもしれません。
　したがって、B君があたりを引く確率を計算するには
　A君があたりを引く確率も考慮しなければなりません。

回答No.3

hogehogeninja

条件付き確率というのは、情報が与えられた時に、どう確率が変わるかというものです。
たとえば、B君が自分だったとします。そのとき、（１）は、A君があたりを引きました。そのとき、あなたはくじをひきますか？
と考えたときに使います。
このときだったら、「A君がすでにあたりをひいた」という情報が分かっているので、当りがへって部が悪くなったな、（A君が引く前に自分が引くかどうかきめるときは、A君が当りを引くかどうかわからないので、自分があたりを引く確率P（b）は１／１０だったのに）とわかります。
このとき、「A君が当りをひいた」と分かっているときの確率はPa(b)＝１／１１で、ちょっと部が悪くなっています。
逆に、「A君がハズレを引いたとき」は、１０／９９で、ちょっと有利になっています。

こんな風に、確率は不確かなことがどれぐらい起りやすいかを予測するものですから、情報がわかると、予測がかわります。（たとえば競馬みたいのだったら、適当に賭けるのと、前の勝ち負けが分かっているのでは、ある馬が勝つ確率を考えたとき、予測（今持っている情報で考えたときの勝つ確率）が変わります。）

（上の例では、P（b）とPa(b)の違いです。P(a^b)と比べるのではないことに注意。
おそらく、（２）はほんとうはP(b)を考えていたのではないでしょうか？）

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具体的には、
P（？）と書いた時には、A君もB君も、当りを引いたりはずれを引いたりしたときですので、全事象は
i）A君が当りを引いてB君が当りを引く=100*99通りのうちの10*9通り
（=P(a^b)=10/100 * 9/99）
ii)A君が当りを引いてB君はハズレを引く=100*99通りのうちの10*90通り
（=P(a^b')=10/100 * 90/99）
iii)A君がハズレを引いてB君は当りを引く=100*99通りのうちの90*10通り
（=P(a'^b)=90/100 * 10/99）
iv)A君がハズレを引いてB君もハズレを引く=100*99通りのうちの90*89通り
（=P(a'^b')=90/100 * 89/99）
（ただし、P(a')やP(b')は、それぞれA君、B君がハズレを引く確率、の意味）
の、i)からiv)までのすべて合わせたものが全事象（考えうる可能性のすべて）です。
全部足すと、100*99通り、
P(a^b)+P(a^b')+P(a'^b)+P(a'^b')=１

Pa(?)というのは、「A君が当りを引いたときに、」という意味なので、
全事象は上の
i),ii)の時だけです。
すると、
i)の(i+ii= 10*99通りのうちの）10*9通り（P(a^b)=10/100 * 9/99）
ii)の(i+ii= 10*99通りのうちの）10*90通り（P(a^b')=10/100 * 90/99）
全事象は、10*9+10*90=10*99（P(a^b)+P(a^b')= 0.1 )
i)の確率は、確率の公式「その事象／全事象」から、
Pa(a)=10*9 / (10*99) = 1/11
または、
Pa(a) = P(a^b) / (P(a^b)+P(a^b'))
= 1/11

「A君が当りを引いた」という情報（条件）は、「iii)とiv)の事象は起らなかったと分かったので除外した」という操作で現れています。

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条件付き確率というのは、
１.全体の中から起る可能性のないもの（または起らないと分かったもの）を除外する
２.除外した分、全体が１ではなくなるので、
（上の例では、「i)のとき＋ii)のとき」=「P(a^b)+P(a^b')=0.1」で、１ではないので、このままでは確率ではありません。）
全体が１になり、ちゃんと確率を意味するように計算し直す。
（上の例では、「条件のつかない場合を基準にしたときの」全体の事象は0.1なので、この0.1で割って「条件が付いたときの」全体が１になるようにする。）

条件付き確率の公式で見ると、
２.は、P(a)で割ること（P(a)=P(a^b)+P(a^b')）
の部分です。
Pa(b) = P(a^b)/P(a)

回答No.1

grasshopper59

Pa(b)というのは、aが起こる条件のもとでbが起こる確率、
P(a∧b)というのは、aとbが同時に起こる確率のことを言います。

この問題に関していえばこう置き換えるとわかりやすいかもしれませんね。
(1)A君があたりを引くという条件の下で、B君があたりを引く確率。
(2)A君があたりを引き、なおかつ同時にB君もあたりを引く確率。

ここで注意していただきたいのは(1)の全事象は
「Ａ君があたりを引く」という事象です。

拙い説明ですいません。