条件つき確率ついての疑問

質問

教科書にあった条件つき確率の定義がいまいちわからないので質問をします。
まず条件つき確率とは
＞一般に、標本空間Uにおける2つの事象A,Bについて,事象Aが起こったときに,事象Bが
＞起こる確率を,事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件つき確率といい記号PA(B)で表す。
＞PA(B) = n(A∩B)/n(A) = P(A∩B)/P(A)

とあります。ここで、そもそもの確率の定義を考えたときにPA(B) = n(A∩B)/n(A)の関係性に
疑問が湧きました。
そもそもの確率の定義とは、同じ教科書から引用すると
＞各根元事象が同様に確からしい試行において,その標本空間をUとする。
＞この試行におけるUの要素の個数をn(U)とし,事象Aの要素の個数をn(A)で表すとき,事象Aの
＞起こる確率P(A)は次の式で求められる。
＞P(A) = n(A)/n(U)

です。ある試行における全事象の要素の個数とある事象の要素の個数の割合が確率であると
言っているのです。
ということは、条件つき確率PA(B)=n(A∩B)/n(A)とは、Ａを標本空間とし、Ａが標本空間になるような
試行が,Uが求められときの試行とは別に行われたと解釈できます。

なのに、条件つき確率の説明ではあたかも標本空間Uが得られる試行しか行われておらず、
Aが標本空間ではないような印象を受けてしまいます。

この印象に対する疑問はおかしいのでしょうか？私の解釈は間違っていますか？

回答よろしくお願いします。

回答No.13

alice_44 · ベストアンサー

←A No.6 補足
その後、A No.8 11 も投稿しましたが、
No.11 回答後に No.6 のみ補足が付いた
ようなので、再度コメントしておきます。

＞ ということは条件つき確率は確率ではないということになります

繰り返しになりますが、確率空間 U 上の条件つき確率は
確率空間 U 上の確率ではありません。
舞台を変えて、PA(B) を確率空間 A 上の確率と解釈すれば、
「ある意味確率である」とは言えるのですが、
それには U とは別の確率空間 A を考える必要があり、
PA(B) が U 上の「確率」でないことに違いはないのです。

そのことの初等的な説明は、A No.9 さんが端的に書いています。
10人から無作為に選ぶとき、帽子をかぶった人だけを選ぶ方法が
ない以上、後で結果を選別して考えているだけ。
結果を選別して考えたモノは、「確率」ではなく「条件付き確率」です。
PA(B) を確率として解釈するためには、帽子をかぶった人だけ選ぶ
試行を、10人から無作為に選ぶ試行とは別に考えざるを得ません。
両者は、異なる試行の確率、異なる確率空間の確率なのです。

＞ 一般に、標本空間Uにおける2つの事象A,Bについて,
＞ 事象Aが起こったときに,事象Bが起こる確率を,
＞ 事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件つき確率といい
＞ 記号PA(B)で表す。

には、上述の U における確率と A における確率をゴッチャにして
PA(B) が U 上の確率であるかのように書いている文章の下手さと、
PA(B) は「事象Aが起こったときに,事象Bが起こる確率」ではなく、
「事象Aが起こったときに,事象A∩Bが起こる確率」でなくてはならない
という基本的な勘違いとの、二ヶ所の問題点があります。

お礼

回答ありがとうございます。
詳しく解説してくださった他の回答者様もありがとうございました。

回答No.12

MagicianKuma

説明中の記号に一貫性がなくて申し訳ありませんでした。質問者さんの記号に合わせます。
No7で述べたように、数学では確率の満たす要件は定義されていますが、確率関数をどう定義するかは数学的にはあずかり知らずの立場です。
ですが、現実問題として有用な確率の定義を我々は自然に身につけています。すなわち、質問者さんのいうところの根元事象が同様に確からしいという仮定の上での確率の定義。よく知ったラプラスの定義です。統計的確率の定義とも合います。
なので普通、（離散的）確率という言葉を用いたときはこれを指します。で、問題になっている条件付き確率はこれとは全然事なる定義です。標本空間Uの加法族F上にPA(B)をPA(B)=P(A∩B)/P(B)で定義したものです。右辺に出てくるP(・)は標本空間Uの加法族F上に定義された、我々のよく知っているよく確率です。
ですから、通常の確率とは違うと言う意味で、条件付きという修飾語がついています。で、私の結論としては条件付き確率といった場合、これはやはり、標本空間Uの加法族F上に定義された確率です。（通常我々がいう確率とは異なる）
で、この条件付き確率は、事象Aを新たに標本空間ととらえ直した場合、通常の意味での確率として解釈できますよ。ということです。ただし事象Aを標本空間ととらえたとき、すでに事象Bというものは存在しません。あるのはA∩Bという事象です。
No9さんの考え方も間違っていないと思います。もちろん質問者さんも。質問者さんのはじめの質問に戻れば、
＞ということは、条件つき確率PA(B)=n(A∩B)/n(A)とは、Ａを標本空間とし、Ａが標本空間になるような試行が,Uが求められときの試行とは別に行われたと解釈できます。
そう解釈して通常の確率を求めれば、条件つき確率PA(B)になりますよ。という意味で正しいと思います。
＞なのに、条件つき確率の説明ではあたかも標本空間Uが得られる試行しか行われておらず、Aが標本空間ではないような印象を受けてしまいます。
はい。標本空間はAではなくUです。ですからあなたが受けた印象は正しいのです。

回答No.11

alice_44

←A No.9
その「試行の結果を選別して計算しているだけ」というのが、
PA(B) を標本空間 U における条件付き確率と見る立場で、
「選別された結果を別の試行と考える」ことが、PA(B) を
標本空間 A における確率と見なす立場なのだと思います。

帽子をかぶった人だけを選ぶ試行はありえないというのが、当に、
PA(B) は U における「確率」ではないことを表現しています。
ありえない試行の結果を評価する「確率」もまた、ありえない
だろうということです。

試行の結果を「選別して考え」た後に出てくる何らかの値が
「条件付き確率」であり、ただの「確率」とは異なる何かです。
その「条件付き確率」を、別の標本空間の「確率」として解釈
する手段が、関係式 PA(B) = P(A∩B)/P(A) なのでしょう。

「条件付き確率」という名前の一部に『確率』という文字が入って
いることが、話をややこしくしていると思いますが、名前なんて
所詮ただの名前です。「ピロピロパラヒョンペ」でも同じことです。
「条件付き確率」と呼ぼうが、「ピロピロパラヒョンペ」と呼ぼうが、
その U における「…………」は、U における「確率」ではなく、
A における「確率」とは解釈しえる何かだと思われるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

No.9 です。

No.1補足は「帽子をかぶっている」の方が条件でしたね。
間違えました。
議論の内容に影響はないと思いますが、念のため。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

No.4 です。

>数え直すとは具体的にどういうことなのでしょうか？

単純にNo,1 の補足の例では試行は 10人から1人を選ぶ
だけで、なぜ5人から一人選ぶという試行を別途
考える必要があるのだろうと思っただけなんです。

私は単純に条件付き確率は、試行の結果を「男性である」という条件で
選別して計算しているだけで、「試行」の結果そのものはなにも
変わらないと考えています。

つまり、男性だけを選ぶ「方法」が無い以上、男性だけを選ぶ「試行」はありえず、
後で結果を選別して(整理して)考えているだけ

というのが私の考え方です。

まあ、選別まで合わせて敢えて確率論では「試行」と「標本空間」を定義
するのかもしれませんし、そういう理論形式の方が便利なのかもしれませんが、
選別された試行の結果を元の部分集合と考えずに「別の試行」と考えるのは私には
違和感があります。

私は元物理屋なんで確率論の言葉の正確な定義はよくしりませんが、変ですかね？

何か勘違いがありましたらご指摘ねがいます。

お礼

回答ありがとうございます。
>単純にNo,1 の補足の例では試行は 10人から1人を選ぶ
>だけで、なぜ5人から一人選ぶという試行を別途
>考える必要があるのだろうと思っただけなんです。

それは　PA(B) = n(A∩B)/n(A)　という定義に端を発します。
PA(B)が確率であるのなら、それは全事象と、ある事象の比で表現されます。
つまりこの式は全事象がUではなく、Aであるということを意味しているのです。

ところで、全事象とはある試行の結果のことをいいます。
2つの異なる標本空間があるとき、それらは異なる試行によって得られた結果であるのです。
これを踏まえると、Aを標本空間とするならば、AはUとは異なるので、Uとは異なった
試行がなければなりません。
それが5人から一人選ぶという試行を別途考える必要があると考えた次第です。

回答No.8

alice_44

A No.7 の言葉を借りれば、
Ω=U とする確率と Ω=A とする確率とは、
「確率」という言葉だけ共通でも、
内容的には「別の」モノだ…
と言えるでしょう。
だから、質問文の理解でよいのです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.7

MagicianKuma

No5です。友人から待った！がかかったので、No5いったん撤回します。
公理的確率空間の定義から言うと、集合Ωの加法族F上で定義された関数P:F→Rが
(1)P(A)≧0 A∈F
(2)P(Ω)=1
(3)Ak∈F,Ai∩Aj=∅(i≠j) ⇒ P(UAk)=ΣP(Ak)
をみたせばPを確率関数とよび、組（Ω,F,P)を確率空間と呼ぶ。ここで、Pは(1),(2),(3)をみたせば良い訳です。
なので、通常のP(A)=#A/#Ω #は元の個数　の定義ではなく。P(A)=#(A∩B)/#B B∈F,#B≠0　で定義すれば、
(1)A∈Fに対して、P(A)=#(A∩B)/#B≧0
(2)P(Ω)=#(Ω∩B)/#B=#B/#B=1
(3)Ai∩Aj=∅(i≠j) ⇒ (Ai∩B)∩(Aj∩B)=∅(i≠j)
　P(U(Ak))=#(UAk)∩B)/#B=#(U(Ak∩B)/#B=Σ#(Ak∩B)/#B=ΣP(Ak)
でPは(1),(2),(3)を満たす。ので、集合Ωの加法族F上で確率と言えます。このP(A)を通常の定義と区別するためにPB(A)ないしP(A|B)と書くことにすれば、これは立派な確率です。
ですが、質問者さんやNo3さんの理解で良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
高度な知識を使って、丁寧に解説をしてくれていると思うのですが
私の教養のレベルが理解するのに達していません。残念です。
確率の勉強を進めていって、理解できるようになってからまた読みたいと思います。

回答No.6

alice_44

＞ そうでないとすればPA(B)とは何なのでしょうか？

PA(B) は、「条件付き確率」です。「確率」ではなく。

＞ 標本空間をAとするときの事象Bの確率を、標本空間Uで用いられている記号で
＞ 表現したものであるからPA(B)は確率と考えることができると思うのですが、

「確率と考えることができる」のですが、そのためには
標本空間を U ではなく A に置くことが必要で、
得られた「確率」は、U における「確率」でなく、A における「確率」です。
条件付き確率って、もともとそういうものではなかったですか？

ちなみに、PA(B) は、A における A∩B の確率であって、
A における B の確率ではありません。
U の部分集合 B は、A をはみ出してしまっていますから、
A を標本空間として B の確率を定義することは不可能です。

お礼

回答ありがとうございます。
>PA(B) は、「条件付き確率」です。「確率」ではなく。

ということは条件つき確率は確率ではないということになります。
となると、質問者様の言い分と教科書の言い分で矛盾が起きてしまいます。
以下は質問文にもある教科書からの引用なのですが

＞一般に、標本空間Uにおける2つの事象A,Bについて,事象Aが起こったときに,事象Bが
＞起こる確率を,事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件つき確率といい記号PA(B)で表す。

とあります。ここでは条件つき確率は確率であると言っているのですが
教科書の方が間違えているのでしょうか？
ちなみに使っている教科書は数Cの高校生向けのものです。

回答No.5

MagicianKuma

No3さんの説明で言い尽くしていますが、質問者さんが追加質問されているので、あえて追記するとすれば、
＞標本空間をAとするときの事象Bの確率を、標本空間Uで用いられている記号で
＞表現したものであるからPA(B)は確率と考えることができると思うのですが、
＞そうでないとすればPA(B)とは何なのでしょうか？
確率は標本空間Uの部分集合に対して与えられるものです。標本空間の部分集合の事を事象と呼びます。
A,B,A∪B,A∩BもまたUの部分集合ですから、事象です。すなわちP(A∪B)やP(A∩B)も確率です。
で、条件付き確率はPA(B)と書いたり、P(B|A)と書いたりしますが、B|AなるUの部分集合があるわけではありません。なので標本空間UにおいてB|Aは事象ではありません。なので確率も定義されません。
Aを標本空間と置き直したとき、A∩Bは標本空間の部分集合となりますから、PA(B)は確率となります。
大胆な言い方をすれば、標本空間を置き直すことを条件付きと呼ぶと考えても良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
一旦撤回するとのことなので、No7の方に改めてお礼を書かせていただきます。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>つまり、帽子を被っている人の中から一人を選ぶという試行が行われていることになります。

これ具体的にはどうやってやるのでしょう？　結局数え直しているだけでは？

お礼

回答ありがとうございます。

>結局数え直しているだけでは？

すいません、よく理解ができないです。
数え直すとは具体的にどういうことなのでしょうか？

回答No.3

alice_44

ちゃんと解かっているじゃありませんか。その理解でいいんですよ。

U を標本空間とするとき、
PA(B) は、あくまで「条件 A の下での条件付き確率」であって、
それ自体は「確率」ではありません。
「条件付き確率」は、「確率」ではないんです。
P(A), P(B), P(A∩B) 等が、U における「確率」。
PA(B) は、P(A∩B)/P(A) ではあっても、P(なんたら) とは書けません。
U における「確率」じゃないから。

PA(B) を確率として解釈するためには、「別の」標本空間を考える必要が
あります。A を標本空間とすれば、そこにおいて A∩B が起こる確率は
正に「確率」たりえて、それが PA(B) です。

PA(B) を「条件付き確率」と見る標本空間 U と
PA(B) を「確率」と見る標本空間 A は、「別の」系です。
「試行」は、標本空間に付随するものですから、
条件付き確率としての PA(B) と
確率としての PA(B) は、試行も「別」ということになります。

お礼

回答ありがとうございます。

＞「条件付き確率」は、「確率」ではないんです。

標本空間をAとするときの事象Bの確率を、標本空間Uで用いられている記号で
表現したものであるからPA(B)は確率と考えることができると思うのですが、
そうでないとすればPA(B)とは何なのでしょうか？