確率

質問

A、B、Cの3人がじゃんけんをして、勝者1人を選ぶ。3人あいこならばじゃんけんを繰り返し、2人勝ちならば勝った2人で決戦をするものとする。このとき、次の確率を求めよ。

（1）Aが1回目で優勝する確率
（2）Aが2回目で優勝する確率
（3）Aが3回目で優勝する確率
（4）3回目が終わっても勝者が決まらない確率

解法が分かりません。回答、よろしくお願いします。
何度もすみません。

回答No.3

suko22

＃１です。訂正です。
最後の問題。
3回目までの全事象の確率が合計で1でなければならないので、3回目までの試行について、以下の等式が成り立ってなければならないということにANo.2から気づきました。

ANo.1では3回目だけに注目して考えてしまいました。1回目、2回目、3回目ときてまだ3回目で勝者が決まらないと考えなければいけなかったようです。

（1回目で勝者が決まる確率）+（2回目で勝者が決まる確率）+（3回目で勝者が決まる確率）+（3回目までで勝者が決まらない確率）＝1
より、
（3回目までで勝者が決まらない確率）＝1-（1回目で勝者が決まる確率）-（2回目で勝者が決まる確率）-（3回目で勝者が決まる確率）

（1回目で勝者が決まる確率）＝3*（Ａが1回目で優勝する確率）＝3*1/9＝1/3
（2回目で勝者が決まる確率）＝3*（Ａが2回目で優勝する確率）＝3*1/9＝1/3
（3回目で勝者が決まる確率）＝3*（Ａが3回目で優勝する確率）＝3*5/81＝5/27

よって、
（3回目までで勝者が決まらない確率）＝1-1/3-1/3-5/27＝4/27・・・答え

回答No.2

nag0720

（4）3回目が終わっても勝者が決まらない確率

1-（3回目までにＡが優勝する確率）-（3回目までにＢが優勝する確率）-（3回目までにＣが優勝する確率）

＝4/27

回答No.1

suko22

(1)1回で勝負がつくから、手の出し方の総数は3^3通り（∵それぞれグー、チョキ、パーの3通りあるから）
　1回目でＡだけが勝つパターンは、
　Ａがグー、その他2人がチョキ
　Ａがチョキ、その他2人がパー
　Ａがパー、その他2人がグー
　の3通りだから、求める確率は3/3^3＝1/9・・・答え

(2)Ａが2回目で優勝する確率
　i1回目あいこで2回目でＡのみが勝つ確率
　　1回目があいこになる確率は、余事象で考えると
　　　1-（誰かが勝つ確率）
　　I　1人が勝つ確率　
誰が勝つかで3C1通り
　　　　出す手のパターンで3通り
　　　　よって3C1*3=9通り
　　　　ゆえに確率は9/27=1/3
　　II　2人が勝つ場合の数
　　　　誰が勝つかで3C2通り
　　　　出す手のパターンで3通り
　　　　よって3C2*3=9通り
　　　　ゆえに確率は9/27=1/3
だから求める確率は1-(1/3+1/3)=1/3・・・1回目があいこの確率
　2回目にＡだけが勝つ確率は(1)より1/9
　よって、求める確率は1/3*1/9＝1/27

　ii1回目でＡを含む2人が勝ち、2回目でＡが勝つ確率
　　I　1回目でＡを含む2人が勝つ確率
ＡとＢが勝つ確率+ＡとＣが勝つ確率＝（Ｃだけが負ける確率）+（Ｂだけが負ける確率）
　　　　　＝1/9+1/9＝2/9（∵(1)と同じ考え方）
　　II　2回目でＡが勝つ確率
　　　2人でじゃんけんしてＡが勝つ確率は、3/3^2=1/3
　　ゆえに、I、IIより求める確率は2/9*1/3＝2/27

　したがってi、iiより求める確率は1/27+2/27＝3/27＝1/9・・・答え

(3)Ａが3回目で優勝する確率
　i1回目、2回目があいこで3回目にＡのみが勝つ確率
　　1/3*1/3*1/9=1/81

ii1回目があいこで2回目でＡを含む2人が勝ち、3回目でＡが勝つ確率
　　1/3*2/9*1/3=2/81

iii1回目でＡを含む2人が勝ち、2回目であいこになり、3回目でＡが勝つ確率
　　2/9*1/3*1/3＝2/81

　i、ii、iiiより求める確率は、1/81+2/81+2/81＝5/81・・・答え

(4)3回目が終わっても勝者が決まらない確率　余事象で考える。
　1-（3回目でＡが優勝する確率）-（3回目でＢが優勝する確率）-（3回目でＣが優勝する確率）
　＝1-5/81-5/81-5/81＝66/81・・・答え

自分で整理してみてください。
難しいことはやってないのですが、思うがままに書き連ねたのでわかりにくいかと思います。
やり方あってるとは思うのですが。。。
この回答は参考程度に見てください。

Ｐ．Ｓ．
もし答えがわかったらぜひ教えてください。

お礼

解答をもらったので、解答をそのまま書かせていただきます。

A、B、Cの3人がじゃんけんをして、勝者1人を選ぶ。3人あいこならばじゃんけんを繰り返し、2人勝ちならば勝った2人で決戦をするものとする。このとき、次の確率を求めよ。
（1）Aが一回目で優勝する確率
（解）A、B、Cの3人が1回で出す手の数は全部で3^3通り。
Aの勝ち方、グー、チョキ、パーの3通りであるから、求める確率は/3^3=1/9…（答）
（2）Aが2回目で優勝する確率
（解）[1] 1回目があいこのとき、2回目でAが勝者となる確率は3!+3/3^3*1/9=1/27
　　　[2] 1回目にA、Bまたは、A、Cが勝ち、2回目でAが勝者となる確率は2*1/9*3/3^3=2/27
求める確率は、[1]、[2]から1/27+2/27=1/9…（答）
（3）Aが3回目で優勝する確率
（解）1回目、2回目が終了したとき、残っている人数をそれぞれX、Yとする。3回目でAが勝者となる確率は
[1] （X、Y）=（3、3）のとき1/3*1/3*1/9=1/81
[2] （X、Y）=（3、2）のとき1/3*(2*1/9)*1/3=2/81
[3] （X、Y）=（2、2）のとき(2*1/9)*1/3*1/3=2/81
ゆえに、求める確率は、[1]～[3]から1/81+2/81+2/81=5/81…（答）
（4）3回目が終わっても勝者が決まらない確率
（解）（1）～（3）の結果を用いないで直接求める解法。1回目、2回目、3回目が終了したとき、残っている人数をそれぞれ（X、Y、Z）とする。
（X、Y、Z）=（3,3,3）のとき（1/3）^3=1/27
（X、Y、Z）=（3,3,2）のとき（1/3）^2*3C2*1/9=1/27
（X、Y、Z）=（3,2,2）のとき1/3*3C2*1/9*1/3=1/27
（X、Y、Z）=（2,2,2）のとき3C2*1/9*（1/3）^2=1/27
以上から、求める確率は1/27*4=4/27…（答）

補足

回答、ありがとうございました。
こんな難しい問題、回答してくださる方はいないかもしれない…とあきらめかけていたのですが、一緒に考えてくださっていた方がいたことを知り、感謝の気持ちでいっぱいになりました。毎回、私の質問に答えてくださってありがとうございます。この問題は高校の休日課題なので解答は確実に手に入ります。解答を受けとったその日のうちにお礼入力欄で書かせていただきます。

今回は本当にありがとうございました。