確率の分野での質問です。

質問

確率の分野での質問です。
「3人がじゃんけんをして敗者が抜けていくこととしたとき、2回目のじゃんけんにより勝者が1人に決まる確率はいくらか。
ただし、あいこの場合も1回と考えるが、抜ける者はいないものとする。また、グー、チョキ、パーを出す確率はそれぞれ1/3で、ほかの人の出す手は予測できないものとする。」という問題が分かりません。

解答は「1/3」となっています。

私はこの問題について
(i)1回目にあいこ、2回目に2人抜ける。
(ii)1回目に1人抜け、2回目に1人抜ける。
という2つの場合があると考えて、
まず(i)の確率を(3C1/3×3×3)×(3C1×3C1/3×3×3)=1/27、
さらに(ii)の確率も同様の考え方で計算したのですが、答えと合いません。

上記、自分の計算法は、最初の分子の3C1はグー、チョキ、パーの内どの手であいこになるか、分母は3人(自分の中でa.b.cと置き)それぞれがグ、チ、パのどれを出す場合も考えられるので、3×3×3と考えました。

この計算方法が何故間違いなのか、
正しい、解き方、考え方をご教授願いたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

staratras

グーをa、チョキをb、パーをcとすると3人による1回のじゃんけんで起こりうるすべての場合は、以下の式で網羅されています。たとえばa^3 は3人全員がグーを出したあいこの状態が1通りで、3ab^2は1人がグー、2人がチョキで1人が勝った状態が3通りあることを示しています。（全部で27通り）

(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3ab^2 + 3ac^2 + 3ba^2 + 3ca^2 + 3bc^2 + 3cb^2+ 6abc　…（１）

また2人によるじゃんけんのすべての場合は以下の式です。（全部で9通り）

(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca　…（２）

場合１)1回め3人あいこ：（１）のa^3,b^3,c^3,6abcの9通りだから9/27＝1/3
　2回め1人勝ち：（１）の3ab^2,3bc^2,3ca^2の9通りだから9/27＝1/3
　したがって確率は1/3×1/3＝1/9

場合２）1回め1人負け：（１）の3a^2b.3b^2c.3ac^2の9通りだから9/27＝1/3
　 2回目2人で対戦し片方が勝つ：（２）の2ab,2bc,2caの6通りだから6/9=2/3
　したがって確率は1/3×2/3=2/9

よって2回目に決着する確率は場合１と２の和で、1/9+2/9=1/3

回答No.1

deshabari-haijo

(i)1回目にあいこ、2回目に2人抜ける。
1回目にaとbはどれを出してもいいと考えると、aとbが同じ手だった場合も異なった手だった場合も、cが出す手の確率は1/3であり、
1回目にあいこになる確率は、1×1×1/3=1/3
2回目にaが勝つ場合、2回目にaはどれを出してもいいと考えると、bとcはaに負ける手を出すことになるので、2回目にaが勝つ確率は、1×1/3×1/3=1/9
これから、2回目に3人のうち1人が勝つ確率は、1/9×3=1/3
よって、この場合の確率は、1/3×1/3=1/9

(ii)1回目に1人抜け、2回目に1人抜ける。
1回目にaとbが勝ちcが負ける確率は、1×1/3×1/3=1/9
同様に、1回目にaとcが勝ちbが負ける確率も、1/9
2回目だけに着目してaが勝つ確率は、1×1/3=1/3
これから、2回目でaが勝つ確率は、1/9×2×1/3=2/27
よって、この場合の確率は、2/27×3=2/9

以上から、求める確率は、1/9+2/9=3/9=1/3