確率の問題｛解き方の違いがわからない｝

質問

同じ考え方で解けると思う問題が、なぜか微妙に解き方が違っており困っています。

問１
サイコロを振って、３の倍数の目がでる確率は１／３ですが、これが３回のうち２回でる確率はいくつか。

○○×→１／３×１／３×２／３＝２／２７
○×○→１／３×２／３×１／３＝２／２７
×○○→２／３×１／３×１／３＝２／２７　合計...２／９

この問はこのように解けますよね。僕でも理解できます。ところが…

問２
２人で対戦するゲームにおいて、ＡがＢに勝つ確率は０．６、ＢがＣに勝つ確率は０．４、ＣがＡに勝つ確率は０．７である。いま、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が抽選をして２人がまずゲームをし、次にその勝者が残りの１人とゲームをし、次にその勝者が残りの１人とゲームをして優勝を争うものとする。このときＡの優勝する確率はいくらか。ただし、引き分けはないものとする。（正解　０．２６）

僕の解き方

（ＡｖｓＢ→ＡｖｓＣ→Ａ）
６／１０×３／１０＝１８／１００

（ＡｖｓＣ→ＡｖｓＢ→Ａ）
３／１０×６／１０＝１８／１００

（ＢｖｓＣ→ＢｖｓＡ→Ａ）
４／１０×６／１０＝２４／１００

（ＢｖｓＣ→ＣｖｓＡ→Ａ）
６／１０×３／１０＝１８／１００

よって答えは、７８／１００　…あれ？選択肢にこの答えがない！
テキストの解説では、全ての式に必ず１／３をかけていました。

ここで１／３をかけるのは、それぞれの対戦ケースを表しているということなのでしょう。しかし、それであれば、問１の計算も、それぞれ１／３をかける必要性がでてきてしまいますよね。なぜ、この問題だけそれぞれに１／３をかけるのですか。僕は最後の最後まで１／３をかける、といったことは頭に浮かんできませんでした。

一度習ったことでも、応用させるのは難しく、立ち止まってばっかりです。宜しくお願いします。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

問１と問２では大きな違いがあります。
問１は一つのさいころを3回振るので質問者様の解答のように計算できます。
問２は勝ち負けの確率の計算をする前に、
「3人のうちから最初の対戦をする2人をどう選ぶか」という選択があります。
Ａ対Ｂ、Ｂ対Ｃ、Ｃ対Ａの3通りがあり、抽選ですからそれぞれ１/３ずつです。

＞ここで１／３をかけるのは、それぞれの対戦ケースを表しているということなのでしょう。
ご賢察の通りです。

＞しかし、それであれば、問１の計算も、それぞれ１／３をかける必要性がでてきてしまいますよね。
これはたまたま3の倍数が2回出る組み合わせが3通りなので、そう誤解しただけです。

すべての場合を考えますと２の3乗で8通りあり、2回出るのはＡ、Ｂ、Ｃの3通りですが、
最初に3の倍数が出る(○となる）確率が1/3、出ない(×となる）確率が2/3なので
ご質問者様の解答で正しく、さらに1/3をかける必要はありません。

○ーー○ー○
　＼　　＼　
　　＼　　×…Ａ
　　　×ー○…Ｂ
　　　　＼
　　　　　×

×ーー○ー○…Ｃ
　＼　　＼
　　＼　　×
　　　×ー○
　　　　＼
　　　　　×

お礼

＞問２は勝ち負けの確率の計算をする前に、
「3人のうちから最初の対戦をする2人をどう選ぶか」という選択があります。

よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.5

Quattro99

問1では○○×、○×○、×○○と3通りあるので1/3をかけねばならないように感じるのかも知れませんが、そうするのであれば「○○×、○×○、×○○のいずれかが出る確率」に1/3をかけねばなりません。しかし、問1のところに書かれている計算はそれぞれ○○×が出る確率、○×○が出る確率、×○○が出る確率そのものなので、1/3をかける必要はありません。
もし、無理に1/3をかける計算を考えるなら、
{(1/3)*(1/3)*(2/3)+(1/3)*(2/3)*(1/3)+(2/3)*1/3)*(1/3)}*(1/3)
となります。

問2は#2で回答したように、まず第1会戦でその組み合わせが選ばれる確率（1/3）をかける必要があります。
この考え方を無理に問1に当てはめるなら、サイコロを3回振る確率というのを考えることになりますが、サイコロを3回振る場合にサイコロを3回振る確率は1ですから、何もかけないのと同じことです。

お礼

＞まず第1会戦でその組み合わせが選ばれる確率（1/3）をかける必要があります

わかりました。ありがとうございます。

回答No.3

jung_taro

あなたの解き方に沿って回答させていただきます。

まず
（ＡｖｓＢ→ＡｖｓＣ→Ａ）ですが、
そもそもＡｖｓＢになるためには、３人のうちＣさんが最初に戦う抽選に漏れる必要があります。その確率は（Ａさん、Ｂさん、Ｃさんだれもが同様の確率で抽選漏れしますから）１／３です。
そして、Ａさんが勝てば自動的にＣさんとの試合になりますので、これは確率１です。
したがって、
（１／３×６／１０）×（１×３／１０）＝６／１００となります。

同様に、
（ＡｖｓＣ→ＡｖｓＢ→Ａ）の場合もＢさんが最初に戦う抽選に漏れる必要がありますので、その確率も前述の通り１／３です。そして、ＣさんとＡさんの試合でＡさんが勝つ確率は３／１０、自動的にＢさんとの戦いになりますから、Ｂさんと戦う確率は１、そしてその試合のＡさんの勝つ確率は６／１０ですから、
（１／３×３／１０）×（１×６／１０）＝６／１００

となります。

以降同様にすると、ちょうど貴方の算出された解答の１／３になるような答えになります。

ご参考になればと思います。

お礼

わかりました。ありがとうございます。

回答No.2

Quattro99

1/3をかけるのは、最初の対戦を決める抽選でそれぞれの組み合わせになる確率が1/3だからです。

お礼

わかりました。ありがとうございます。

回答No.1

Quattro99

ゲームは3回行うのでは？