確率の問題が分かりません（＞Д＜）教えてください！

質問

袋の中に白球、赤球、黒球が１個ずつ入っている。袋から無作為に球を１個取り出し、白球ならＡの勝ち、黒球ならＢの勝ち、赤球なら引き分けとする。取り出した球をもとに戻し、このゲームを繰り返す。
Ａ、Ｂのうち、先に3回ゲームに買ったほうを優勝とする。
（1）5回目のゲームでＡの優勝が決定する確率
（2）6回目のゲームでＡの優勝が決定する確率
（3）引き分けが1回も起こらずにＡの優勝が決定する確率　を求めよ。
という問題なのですが、（1）までしか解けません。答えがないのでどうかお願いします。

回答No.1

h_uta

(1) 5回目のゲームでAが優勝するため、4回目のゲーム終了時点で勝負が決まっていなく且つAが2勝している必要があります。
そのときのゲームの進行具合を以下に示します。
パターン1:(A,A,B,B)
パターン2:(A,A,B,引)
パターン3:(A,A,引,引)
次に、これらの並べ替えの組み合わせを計算します。
パターン1:(4!)/(2!×2!)=6通り
パターン2:(4!)/(2!)=12通り
パターン3:(4!)/(2!×2!)=6通り
よって4回目終了時点で上記の様にゲームが進行する確立は
(1/3^4)×(6+12+6)=8/27
これに5回目のでAが勝つ確立(1/3)を掛けて
8/81となります。

(2) (1)と同様の方法で5回目までのゲーム進行具合を考えます。
パターン1:(A,A,B,B,引)=(5!)/(2!×2!)=30通り
パターン2:(A,A,B,引,引)=(5!)/(2!×2!)=30通り
パターン3:(A,A,引,引,引)=(5!)/(2!×3!)=10通り
よって5回目終了時点で上記の様にゲームが進行する確立は
(1/3^5)×(30+30+10)=70/243
これに6回目のでAが勝つ確立(1/3)を掛けて
70/729となります。

(3) これは引き分けが起こらずAが2勝するまでのゲームの進行を考えます。
パターン1:(A,A)=1通り
パターン2:(A,A,B)=3通り
パターン3:(A,A,B,B)=6通り
(1)(2)同様にそれぞれのパターンとなり次ゲームにてAが勝つ確立を考えます。
パターン1:(1/3^2)×1×(1/3)=1/27
パターン2:(1/3^3)×3×(1/3)=1/27
パターン3:(1/3^4)×6×(1/3)=2/81
これらを足し合わせて
8/81となります。

これがいい解法かどうかは判りませんが参考までに

お礼

なるほど、階乗を使っていくのですね。パターンが分かってても計算の仕方が分かっていなかったので、参考になりました。ありがとうございました。