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トーナメント戦で勝つ確率を求める
(1)A対B (2)C対D (3)((1)の勝者対(2)の勝者)のトーナメント試合 優勝 ┌ ┴ ┐ ┌┴┐ ┌┴┐ A B C D で AがBに勝つ確率は3/4、CがDに勝つ確率は1/3、AがCに勝つ確率は2/5 Aが優勝する確率が3/10 のとき、Aが決勝戦で勝つ確率を求めよ、という問題です。 初めは「決勝で勝つ」＝「優勝する」だろうと読み取りましたがそれは間違いらしい。 本当のところはどう解釈するのでしょうか。簡潔(大雑把でなく)で明快な解説をお願いします。この問いはこのあとAがDに勝つ確率を求めよ、と続きます。
- titetsu
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AがBに勝つ確率は3/4、CがDに勝つ確率は1/3、DがCに勝つ確率は1-1/3=2/3 AがCに勝つ確率は2/5、AがDに勝つ確率はxとすると、 Aが優勝するには、当然Bに勝つ必要がある 更に、決勝戦でCと対戦して勝つ確率は、CがDに勝ってAがCに勝つ確率を考え、 3/4*1/3*2/5=1/10 同様に、決勝戦でDと対戦して勝つ確率は、DがCに勝ってAがDに勝つ確率を考え、 3/4*2/3*x=x/2 Aが優勝する確率が3/10であるから、次の関係が成り立つ 1/10+x/2=3/10→x=2/5（AがDに勝つ確率） Aが決勝戦で勝つ確率は、Aが決勝戦に進出したという前提で、AがCに勝つ確率とAがDに勝つ確率を考える AがCに勝つか負けるかのいずれかの確率は1、同様にAがDに勝つか負けるかのいずれかの確率も1 AがCに勝つ確率は2/5、AがDに勝つ確率も2/5であるから、 求める確率は、ベイズの定理から（2/5+2/5）/（1+1）=2/5
- chie65535
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＞Aが優勝する確率が3/10 これは「AがBに勝つ」と「AがCに勝つか、Dに勝つ」と言う事象が同時（本当は「順に」だけど、確率計算では「同時」と考えて差し支え無い）に起きる確率です。 ＞Aが決勝戦で勝つ確率を求めよ これは「AがBに勝つかどうかは抜きにして、AがCに勝つか、Dに勝つ確率を求めよ」です。 単純に言えば「Aが優勝する確率はAがBに勝つ確率に左右され、Aが決勝戦で勝つ確率はAがBに勝つ確率は無関係」って事です。 上記を踏まえて。 Aが優勝する確率の計算式は、以下のようになります。 Aが優勝する確率＝AがBに勝つ確率×（AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率） 「AがCに勝つ」と「AがDに勝つ」は、同時に起こらないので「確率の和の法則」が使えます。 Aが決勝で勝つ確率の計算式は、以下のようになります。 Aが決勝で勝つ確率＝AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率 「Aが優勝する確率」と「AがBに勝つ確率」は判っています。 「3/10」＝「3/4」×（AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率） この式の左辺を「3/4で割る」と「3/4」が消えるので「AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率」が残ります。 Aが決勝で勝つ確率＝AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率 ですから「3/10を3/4で割る」と「AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率」つまり「Aが決勝で勝つ確率」が求まります。 分数の割り算は、逆数の掛け算ですから 「3/10」÷「3/4」＝「3/10」×「4/3」＝「12/30」＝「2/5」 となります。 Aが決勝で勝つ確率は「2/5」です。 AがDに勝つ確率は、Aが優勝する確率の式に、判っている数値を当て嵌めて求めます。 Aが優勝する確率＝AがBに勝つ確率×（AがCに勝つ確率×CがDに勝つ確率＋AがDに勝つ確率×DがCに勝つ確率） ↓ 3/10＝「3/4」×（「2/5」×「1/3」＋「AがDに勝つ確率」×「2/3」） 分数が判り難いので、分数は「」で括って書きます。 「3/10」＝「3/4」×（「2/5」×「1/3」＋「AがDに勝つ確率」×「2/3」） 「3/10」＝「3/4」×「2/5」×「1/3」＋「3/4」×「AがDに勝つ確率」×「2/3」 「3/10」＝「1/10」＋「1/2」×「AがDに勝つ確率」 「3/10」－「1/10」＝「1/10」－「1/10」＋「1/2」×「AがDに勝つ確率」 「2/10」＝「1/2」×「AがDに勝つ確率」 「2/10」×２＝「1/2」×２×「AがDに勝つ確率」 「4/10」＝「AがDに勝つ確率」 「AがDに勝つ確率」＝2/5
お礼
細やかな回答を有り難うございます。
- FEX2053
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考え方の前提だけ。 Aが優勝する確率3/10ということは、Aが優勝しない確率7/10 ですよね。で、Aが優勝しないってことは決勝戦がB×CとかB×D という可能性があるんです。その分を考えないと。 Aが決勝戦で勝つ、ということは、A×BでAが勝っていることが前提 ですから、少なくとも、3/10の中に含まれている、予選3/4の分は 排除する必要があります。
お礼
回答、有り難うございます。
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