1個のサイコロを1回投げた場合に、奇数目がでること（事象A）と偶数目が

質問

1個のサイコロを1回投げた場合に、奇数目がでること（事象A）と偶数目が出ること（事象B）とは独立ではないと思います。

しかし、次のように考えると「独立である」という結論になります。

事象Aが起きたときには、P(A)=1、P(B)=0なので、P(A)P(B)=0である。
事象Bが起きたときには、P(A)=0、P(B)=1なので、P(A)P(B)=0である。
したがって、常にP(A)P(B)=0である。
一方、(A^B)=Φであるので、P(A^B)=0である。(^はキャップ記号だとします。)
したがって、P(A^B)=P(A)P(B)が成り立つので、事象Aと事象Bは独立である。

上の考えはどこが間違っているのでしょうか。

それと、ちゃんとしたキャップ記号はどのようにすれば入力できるのでしょうか。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

事象Ａが起きたときに事象Ｂが起きる確率を、「条件付確率」といいます。
Ｐ_A(Ｂ) とか Ｐ(Ｂ|Ａ) とかの記号で書き表すことが多いようです。
ＡとＢが独立でも、独立でなくても、一般に
Ｐ(Ａ∧Ｂ) = Ｐ(Ａ)・Ｐ_A(Ｂ) が成り立ちます　…というか、この式が
条件付確率の定義なんです。

当然、Ｐ_A(Ｂ) と Ｐ(Ｂ) は別のものです。この二つがたまたま一致する
Ｐ_A(Ｂ) = Ｐ(Ｂ) というのが、「ＡとＢが独立」ということの定義です。
上の式と合わせると、独立 ⇔ Ｐ(Ａ∧Ｂ) = Ｐ(Ａ)・Ｐ(Ｂ) となりますね。

質問の例では、
　　Ｐ(Ａ∧Ｂ) = 0　　; 同時に偶数かつ奇数がでることはない
　　Ｐ(Ａ) = 1/2　　　; サイコロで奇数がでる確率
　　Ｐ(Ｂ) = 1/2　　　; サイコロが偶数がでる確率
なので、
Ｐ(Ａ∧Ｂ) = 0 ≠ 1/4 = Ｐ(Ａ)・Ｐ(Ｂ) によって、ＡとＢが独立でない
ことが示せるのです。

貴方が計算した
　　事象Aが起きたときには、P(A)=1、P(B)=0
　　事象Bが起きたときには、P(A)=0、P(B)=1
は、正しくは、順に
　　Ｐ_A(Ａ) = 1
　　Ｐ_A(Ｂ) = 0
　　Ｐ_B(Ａ) = 0
　　Ｐ_B(Ｂ) = 1
であって、Ｐ(Ａ) や Ｐ(Ｂ) ではありません。

一番上の式によって、Ｐ_A(Ｂ) = 0 から Ｐ(Ａ∧Ｂ) = 0 が導けますから、
貴方は、実は、ＡとＢが背反であることを示していたことになります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

詳しい御説明を頂き疑問が氷解しました。確かにＰ(Ａ) = 1/2であり、ぼくがしていたことはＰ_A(Ａ) = 1なんですね。目から鱗でした。

有り難うございました。

回答No.2

edomin7777

そういうのは、「排反」と言います。

P(A)とP(B)が同時に起こりえない事。

因みに、「∩」や「∪」は「きごう」で変換するといっぱい出てきます。

お礼

「きごう」で変換なんですね。有り難うございました。

回答No.1

Tacosan

「事象Aが起きたとき」に, なぜ「P(A)=1、P(B)=0」なのですか?
あるいは, 「事象Bが起きたとき」に, なぜ「P(A)=0、P(B)=1」なのですか?
なお, 「キャップ記号の入力方法」はあなたが使っているシステムに依存します.

お礼

たいへん貴重な御指摘を頂きました。有り難うございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
そういわれると確かに「事象Aが起きたときにはP(A)=1、P(B)=0」というのはおかしいですね。
でも、そうすると、この場合にどのようにするとP(A^B)とP(A)P(B)が等しくないということ（つまり、事象Aと事象Bが独立でないということ）を証明できるのか分かりません。

どのようにして証明するのでしょうか。

ぼくのシステムはWindows XP、ATOK2005です。