これは独立？

質問

事象A、Bが
１．A：奇数
　　B：偶数

２．A：偶数
　　B：３の倍数

３．サイコロを二回ふるとき、
　　１回目にA：偶数、二回目にB：奇数がでる

自分は３が独立であることは経験上分るのですが１，２は独立なのでしょうか？
事象A、Bが互いに影響を及ばさない関係にあるとき独立である、というのは間違いではないですよね？
条件付確率のP(A|B)=P(A∩B)/P(B)で
A,Bが独立ならP(A∩B)=P(A)×P(B)だから
P(A|B)=P(A)というのを
上記の１の場合、P(A∩B)=0になってしまうから独立ではないのでしょうか？
回答よろしくおねがいします。

回答No.7

mamirs3876 · ベストアンサー

大学生だ、と言う事でちょっと面白い例を挙げましょう。
多分、「数学的な意味での"独立”と言う定義」と言うのと、応用的な意味での「独立」の違いが分かると思います。

例えば、「行きずりの男性と女性がコンドーム無しでSEXする」と言う事象と「子供が出来る」と言う事象の二つを考えてみます。果してこれは独立事象なのか否か?
直感的には「そんなの独立事象になる筈はない。ゴム無しSEXだと"確実に”子供が出来る」とか思われるかもしれませんが、それはあくまで生理学的/医学的見地での結論です。実際問題、「子供が出来ない」場合もあります。つまり、「確率論的な」文脈に持ち込めるんですよ。
もちろん、例えば個々のケースに於いては、「女の子の方が排卵日ではなかった」「男性側が無精子症だった」「パイプカットしていた」「女性側が不妊症だった」等と言う物理的な原因を追求する事が出来ます。ただし、仮りに先に挙げた2つの事象をランダムサンプリングして、「特定の原因を追求すること無く」扱えばこれは立派な「確率論の応用」になります。と言うより統計学の文脈に持ち込む事は可能なんですね。
つまり、ここで一つ分かるのは、分析にあたって「確率論的な文脈」を用いるのか、「決定論的文脈」を用いるのか、と言うのはこれは実は分析者の好みなんです。まずこれが分かりますね。
さて、「確率論的な文脈」を採用するとして、先に挙げた二つの事象を「独立として」扱うべきか「従属事象」として扱うべきか・・・・・・。実はこれは難問なんですよ(笑)。一筋縄では行きません(笑)。医学的/生理学的見地を横に置いておいたら、です。
ここで考えなければならないのは、あくまで純粋な統計学的な文脈ですが、

1.2つの事象が独立なのかそうでないのか、は統計学の内側で結論出来るとは限らない。他の分野での「科学的常識」に従って分析しなければならない、と言うケースがある。
2.分析者の主観で構わない。いわば「決め打ち」。ただし、その場合、何を前提とするか明示しないとならない。
3.数学的に統計学的な基準を作って用いてみる。

と言う3つのパターンが考えられます。
1.の場合は「なるほど当たり前だよな」と思われます。しかしながら、その「他分野の基礎的研究」に統計学が使われている事もあり・・・いや、そうなると「鶏と卵とどっちが先?」って事になりかねません(笑)。
2.の場合もこれもしょーがないのです。「男と女がゴム無しでSEXしたら子供が出来るのは当たり前だろ!!!」と思ってるマジメな分析者がいれば、「これは従属である」と言う前提で分析を始めるでしょう。ただし、です。それは「分析にあたっての"仮定”」なんで結論と同義ではありません。「初めに結論ありきで結論を証明しようとしてる」場合がたまにあるんで、これは書き手も読み手も気を付けなければならないんですね。「どこが分析を始めるにあたっての"前提”なのか?」慎重に見なければならない、と言う事です。
3.の場合は色々提言されていますね。例えば古典的な手法では「相関係数」を求める、からはじまって今では「情報量基準」を用いる方法論が研究されています。「行きずりの男女がゴム無しSEXをする」事象と「子供が出来る」事象が独立性があるのか、言い替えれば、

P(A∩B)=P(A)×P(B)

が成り立つ、と「言っても構わない」のを確かめるには、直観を避けようとすると、非常に複雑な計算を行わなければならない、と言う事なんです。
まあ、こんな感じで、他の回答者の方々も「どうして独立と言うのが簡単に言えない」みたいな歯切れの悪い事を書かざるを得ない理由がお分かりでしょうか?極端な話、2つの事象を「どう解釈するのか?」はherobushiさんに委ねられている部分が非常に大きいから、なんです。

お礼

視点が違うだけでここまで違ってくるものなのですか…
なんか簡単に質問してしまって申し訳ないです、それにしても面白い例ですね(笑)
詳しく例をあげて説明してくださり、ありがとうございます。
参考にして、自分なりに色々考えてみようとおもいます。

回答No.6

tecchan22

＞事象の定義の仕方で全く違うのですね…

そうです。だから、No１の方なんかも戸惑ってたんです。

＞つまりP(A)×P(B)=P(A∩B)の左辺と右辺をそれぞれ計算した値が一致＞すれば、それらは独立である、で良いのでしょうか？

そうです。二つの事象が実際に「独立」（≒無関係）かどうかは、
難しくて、数学的に定義できないでしょう？

だから、P(A)×P(B)=P(A∩B) が成り立つとき、事象ＡとＢは＜独立＞である、と数学では定義するんです。

これなら明快ですから。

No２や４の方が指摘している通りです。

だから、実際には密接な関係があろうとも、上式をみたすならば、数学では＜独立＞と言うんです。

勿論、常識的に「独立」な場合は、数学的にも＜独立＞になります。
たとえばサイコロを繰り返し振る場合のように、１回目の結果と２回目の結果が全く無関係であるような反復試行のときは、１回目の結果に関する事象と２回目の結果に関する事象は、数学的にも独立になりますよね。

お礼

＞実際には密接な関係があろうとも、上式をみたすならば、数学では＜独立＞と言うんです。

なんか頭の中がスッキリしました。
まとめてくださり、ありがとうございました<m(__)m>

回答No.5

tecchan22

ええと、お尋ねの内容ですが、もう少し事象をきちんと定義しないといけませんが、おそらくおっしゃりたいのは、

「自然数全体」から、数を一つランダムに選ぶ場合、その数が
Ａ奇数である
Ｂ偶数である

ということでしょうか。

この場合、「ランダムに」をもう少しきちんと定義する必要はありますが、まあ、そこはうるさく言わなければ、

これは、明らかに独立ではありません。

偶数であれば、奇数でなく、奇数であれば、偶数でないので、無茶苦茶関係があるからです。

式で言えば、あなたの言う通り、
P(A∩B)=0
P(A)=0.5
P(B)=0.5
より、P(A)×P(B)≠P(A∩B)
だからです。

次に、同じ状況で、
Ａ偶数が出る
Ｂ３の倍数がでる

の場合ですが、これは独立になります。
P(A)=1/2
P(B)=1/3
であり、
P(A∩B)=(６の倍数が出る確率）=1/6
ですから、P(A)×P(B)=P(A∩B)
が成り立つからです。

●まとめ
奇数は「偶数でない」ということだから、奇数であることと偶数であることは反対で、非常に関係があるから独立でないが、
偶数であることと３の倍数であることは、全く関係がなく、独立だということですね。

●補足
以上のことは、数を「自然数全体」からとった場合のことで、
ある自然数の「部分集合」や、特に、ある「有限個」の自然数の中からランダムに選ぶ、ということであれば、話は少し違ってきます。

例えば、
「１～１００」の中からランダムに選ぶ、ということであれば、
１番目の奇数であることと偶数であることは、
もちろん上と同様に独立ではないが、
２番目のＡ「偶数である」とＢ「３の倍数である」は、
P(A)=0.5
P(B)=0.33(33/100)
P(A∩B)=(６の倍数である確率)=0.16(16/100)
であり、
P(A)×P(B)=0.165≠P(A∩B)
となるので、独立ではなくなります。

「１～６０」の中から選ぶのであれば、独立になります。

つまり、有限個の自然数から選ぶときは、２番目のケースは、
独立になることもあり、ならないこともあるということです。

更に言えば、１番目のケースもそうです。
ちょっと極端な状況ですが、例えば、
「偶数全体の中から選ぶ」、とか、「１００以下の偶数から選ぶ」というように、選ぶ対象が偶数だけという状況であれば、
P(A)=0
P(B)=1
P(A∩B)=0
であり、P(A)×P(B)=P(A∩B)
となるので、独立になります。

その点ご注意下さい。

以上です。

補足

事象の定義の仕方で全く違うのですね…
つまりP(A)×P(B)=P(A∩B)の左辺と右辺をそれぞれ計算した値が一致すれば、それらは独立である、で良いのでしょうか？

回答No.4

zk43

まず、事象A、Bが独立であるということは、P(A∩B)=0ではなく、
P(A∩B)=P(A)P(B)が成り立つということです。
１．Aという事象を、整数全体から任意に整数をとるとき、それが奇数
である、という事象であると考えると、P(A)=1/2と考えられます。
同様に、P(B)=1/2です。
そして、A∩Bはある整数が奇数かつ偶数ということではなくて、最初に
整数をとったとき、それが奇数であり、次に整数をとったとき、それが
偶数であるという事象、すなわち、(x,y)においてxが奇数、yが偶数で
あるという事象であるということで、その確率は1/4。
なぜなら(偶数,偶数)、(偶数,奇数)、(奇数,偶数)、(奇数,奇数)の組み
合わせのうちのひとつだから。
よって、P(A∩B)=P(A)P(B)が成り立ち、AとBは独立である。
２．これも１と同様で、P(A)=1/2、P(B)=1/3
A∩Bは(x,y)でxが偶数、yが3の倍数となる組み合わせを考えると、
P(A∩B)=1/6
よって、P(A∩B)=P(A)P(B)が成り立ち、AとBは独立である。
３．これはサイコロという物を使っていますが、１，２と同様で、
Aは整数全体から整数をとるとき、それが偶数であるという事象、
Bは整数全体から整数をとるとき、それが奇数であるという事象
ということです。
また、これはコインを２回投げて１回目が表、２回目が裏という
問題としても同じです。

偶数・奇数、３の倍数とか書いていますが、一般的に整数全体を
nで割ったときの余りが0,1,2,…,n-1となるように分類して、どの
グループから選ぶか、という問題になると思います。

補足

No.5さんと違うのはこちらは整数を２回取るということだからですよね？
どういう条件の下の確立なのかでずいぶん変わってくるんですね…
ありがとうございます、とてもわかりやすいです

回答No.3

daikaisan

あなたは高校生として説明します。
１．２は事象ではないのです。
しいていえば、整数の属性です。
事象とは、例１から１０まで書かれたカード１０枚から１枚引いたとき
というのが「事象」です。起こったことがら、現象ということです。奇数である確率は、ということにおいて事象の内容が奇数の場合ということです。
３．は確かに独立事象という扱いです(高校数学では「同様に確からしい」という意味で)。

確率論において、複数の確率変数や事象が独立であるというのは、
各変数や各事象の間に確率論的な関連性がないということです。
しかし、独立性の定義を考えると難しいことだと思います。

高校数学での確率は、独立であるためにはどういった条件を満たせばいいかを教えず、「サイコロを二つ投げたとき」のように独立だと思える試行の例を挙げるのみにとどまっています。
これは独立性の定義の難しさです。
「同様に確からしい」ということで、高校数学の確率は独立性を仮に担保しているということで、確率論としてはなはだ問題はあるとは思いますが、学習過程ということでの妥協だとおもいます。
独立についてはあなたの書いておられる薄っぺらい定義ではすまない奥深い内容をはらんでいます。書いている本人もガツチリ把握しているわけではありません(笑い)>。

複数の選択肢の間の背反性・独立性が確率計算の前提として非常に大切だと私は思いますが、これをつつきだすと、高校で履修する確率が非常に難解なものになります。統計学との関連など、もう少し勉学が進んでからみなおされてはいかがでしょうか。

補足

すみません大学生です(笑)
受験問題に関しては一通り出来るのですが、根本的なとこが抜けていると感じるので今回質問させてもらいました。
課題に「独立である例をあげて、それが独立であることを証明しなさい」というのがあるのである程度は理解しておきたいのです。
こういうのは数式で証明できるものなのですか？
回答おねがいします

回答No.2

mamirs3876

ええと、まずポイントとしてはですね。
「独立であるかどうか」はあまり考えすぎない方が良いと思います(笑)。
大体、このテの問題の場合、「考えすぎて」ドツボにはまるんですよね(笑)。
実は「意味から」入っていくとあまり良くないのです。

「独立」と言うのは次の事柄が成り立つ事を言います。

P(A∩B)＝P(A)×P(B)

つまり、これは「独立と言う現象だからこれが成り立つ」んじゃないんです。そうじゃなくってこれは「独立と言う言葉の定義」なのです。
従って、考え方としたら、

＞A,Bが独立ならP(A∩B)=P(A)×P(B)だから

と言うのは考え方が逆で、

＞P(A∩B)=P(A)×P(B)が成り立つのならA,Bは独立である。

と言うのが正しいんです。ですから「経験上」ってのはあんまり関係がありません。

もう一つ言うと、恐らく「独立」と「排反事象」に付いて混乱してると思います。
その辺り、もう１回教科書に戻って調べてみるべきでしょう。

お礼

回答ありがとうございます
高校ではとにかく問題が解ければよいということで、こういった事は考えていなかったのです。
条件付確率やベイズの定理がなかなか理解できないのでここまで立ち返ってみたのです。
もう一度教科書から勉強してみようとおもいます

回答No.1

Tacosan

１とか２って, そもそも事象じゃないような気がする.
だって, 「偶数」とか「奇数」とか「3の倍数」とかの対象がわかんないでしょ?

補足

すみません、おそらく確率や場合の数の根本的なとこが抜けているのかも知れません…
全体を自然数としたらどうでしょうか？