- ベストアンサー
サイコロを振る独立性の証明方法
- 1回目の出目が2であり、2回目の出目が5であるという二つの事象が独立であることを証明する方法を考えます。
- 独立性の証明には、事象Aと事象Bの同時確率が、それぞれの確率の積で表されることを示す必要があります。
- 事象Aの確率は1/2、事象Bの確率も1/2なので、P(A∩B) = P(A)P(B)が成り立ちます。
- みんなの回答 (8)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (7)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
- edomin7777
- ベストアンサー率40% (711/1750)
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
- edomin7777
- ベストアンサー率40% (711/1750)
関連するQ&A
- 独立な事象かどうかの問題
甥がやっている確率の問題です。さいころを2回投げる試行を考えたとき。 問1 1回目に1の目が出るという事象をA、1回目と2回目の目の合計が7となる事象をBとする。事象Aと事象Bは独立か? 問2 事象Aは問1と同じとし、1回目と2回目の目の合計が6となる事象をBとする。事象Aと事象Bは独立か? 甥の答え 事象Aと事象Bが独立 ⇔ P(A∩B)=P(A)・P(B) が成り立つかどうか調べれば良いということで、 問1 さいころ2回振って起きうる全事象の数は6*6=36通りでどれも等確率と考える。 A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}の6通りなので、P(A)=6/36 B={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}の6通りなので、P(B)=6/36 A∩B={(1,6)}の1通りなので、P(A∩B)=1/36 で、P(A∩B)=P(A)・P(B)が成り立つので、事象AとBは独立。 問2 P(A)は問1と同じだから、P(A)=6/36 B={(1,5),(2,3),(3,3),(4,2),(5,1)}の5通りなので、P(B)=5/36 A∩B={(1,5)}の1通りなので、P(A∩B)=1/36 で、P(A∩B)≠P(A)・P(B)なので、事象AとBは独立ではない。 私も上の回答で正解と考えますが、間違いないですよね? で、私のメインの質問は、上記の様に数式を使わずに、問1、問2の事象の独立性を言葉でわかりやすく説明できないものでしょうか?問1と問2は1カ所違うだけです。(合計が7か6かの違い)
- 締切済み
- 数学・算数
- 素人の質問ですみません。
素人の質問ですみません。 事象A、事象B、空事象Φがあるとき、「独立である」と「排反である」は次のように定義されると思います。 事象Aと事象Bは独立である:P(A|B)=P(A)が成り立つ。 事象Aと事象Bは排反である:A^B=Φが成り立つ。 ※「^」は、キャップ記号の代わりです。 1個のサイコロを続けて2回投げ上げた場合に、次の事象Aと事象Bが(1)独立であること、(2)排反でないことはどのようにして証明するのでしょうか。 事象A:1回目に1が出る。 事象B:2回目に2が出る。 (1)を証明するためにはP(A|B)=P(A)が成り立たつことを、(2)を証明するためにはA^B=Φが成り立たないことを、それぞれ証明すればいいと思うのですが、どのようにすればそれが証明できるのか分かりません。 どうしても「証明するまでもなくP(A|B)=P(A)が成り立つ」、「証明するまでもなくA^B=Φは成り立たない」のような言い方になってしまって、これでは証明にならないように思います。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率での「事象の独立」の解釈です。
数学を、趣味で勉強している者です。宜しくお願いします。 例題 確率pで成功する(1-pで失敗する)実験を2回行なったとき 事象A:1回目が成功である (2回目は問いません) 事象B:2回の結果が同じである(2回とも成功、又は2回とも失敗) このとき、事象Aと、事象Bは独立か、独立でないか?ですが p=0.5のとき、P(AB)=P(A)P(B)で p≠0.5以外では、P(AB)≠P(A)P(B)ですが そうすると、表現として 「p=0.5のときのみ事象Aと、事象Bは独立、そしてp≠0.5以外では、独立でない」となるのでしょうか それとも、たまたま p=0.5でP(AB)=P(A)P(B)が成立しただけなので、 「事象Aと、事象Bは独立でない」と言うべきなのでしょうか。 ご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 事象の独立
巨人軍が100試合を終え、50勝50敗、勝率0,5 そのうちホーム試合は20試合あり、10勝10敗で 勝率0,5とする。 事象A 試合に勝つ p[ a]=0,5 事象B ホームで試合をする p[b]=0,2 p[a∩b]=0,1=0,5*0,2=p[ a]p[b] となり、乗法定理成立のため事象AとBは独立である。という説明がされています。 そもそも独立はBが起こったときAが起こる確率とAが起こる確率が等しい時A Bは独立と定義されています。つまり50勝50敗、勝率0,5 ホーム試合は20試合あり、10勝10敗で 勝率0,5。 0,5=0,5でp[a|b]=p[a] で証明することができます。どうして乗法定理をもちだすのでしょうか?つまりp[a|b]=p[a] で証明すればいい話だと考えていて、乗法定理がでてくることがわかりません。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 1個のサイコロを1回投げた場合に、奇数目がでること(事象A)と偶数目が
1個のサイコロを1回投げた場合に、奇数目がでること(事象A)と偶数目が出ること(事象B)とは独立ではないと思います。 しかし、次のように考えると「独立である」という結論になります。 事象Aが起きたときには、P(A)=1、P(B)=0なので、P(A)P(B)=0である。 事象Bが起きたときには、P(A)=0、P(B)=1なので、P(A)P(B)=0である。 したがって、常にP(A)P(B)=0である。 一方、(A^B)=Φであるので、P(A^B)=0である。(^はキャップ記号だとします。) したがって、P(A^B)=P(A)P(B)が成り立つので、事象Aと事象Bは独立である。 上の考えはどこが間違っているのでしょうか。 それと、ちゃんとしたキャップ記号はどのようにすれば入力できるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係
確率で「試行の独立」「事象の独立」2つの関係を教えて下さい。 「試行の独立」は、2つ以上の試行が他の試行に影響を与えない場合のこと。 「事象の独立」は、P(A∩B)=P(A)×P(B)が成り立てば独立、成り立たなければ従属。 と書いてあるのですが、この2つはどの様な関係なのですか? 例えば、 「事象の独立」で従属であったとしても、「試行の独立」がある など・・・。 試行の独立は分かるような気がしますが、「事象の独立」あまりよく分かりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2つの事象の独立性
「3個のコインを投げ2個以上が表の事象をA、3個全てが表の事象をBとする。このときAとBが互いに独立かどうかを示せ。」 という問題について教えていただきたいことがあります。 私は、Aの事象は表が2個もしくは3個の場合であり、Bの事象を含むのでこれらは独立でない、といった感じで式などは用いなかったのですが、これだけで解答として十分でしょうか? 事象が互いに独立である場合 P(A∩B) = P(A)P(B) という式が成り立つという風に教科書にあったのですが、どうもうまく表せなかったもので・・・・。 この式自体、条件付き確率の式から導いてみると、この形になることもそれなりに理解できたのですが、実際にベン図などで考えてみると、 P(A∩B) という A の領域と B の領域の重なった部分での確率が、どうして P(A)P(B) という風にそれぞれの確率を乗算したものと等しくなるのかよく理解できませんでした。 なんとなくですが、独立なら P(A∩B) の値は 0 になってしまうような感じがしてしまいます・・・・。 回答よろしくお願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
>独立性は、確率を計算して成立不成立を検証できる事項ではなく、問題の状況設定に含まれる 仮定だったのです。 そうなんですね。出目については各出目の確率が1/6であるというようなことを当然の前提として認めるんだと思います。認めないと数学の確率の話が全て成り立たないことになりますよね。 ただ、1回振ったときの出目については当然そうだと思うのですが、1回目の出目と2回目の出目が互いに独立であるかどうかは、直感的には「そんなもん、当然独立だよ」と思えるのですが、数学的にはそれでいいのかどうかというところがふっきれません。それでいいんですかね...。どこまでが「そんなもん、当然だよ」でいいのかの判断ができません。 すみません。意味不明のことをいってしまいました。 有り難うございました。