C_k={x;2-1/k<x≦3},(k=1,2,3,…)とする時,lim[k→∞]C_kとP_X(lim[k→∞]C_k)を

質問

宜しくお願い致します。確率集合関数なるものについて質問です。

====問題====
P_X(C)=∫_C e^-xdx (但しC={x;0<x<∞})を確率変数Xの確率集合関数とせよ。
C_k={x;2-1/k<x≦3},(k=1,2,3,…)とする時,lim[k→∞]C_kとP_X(lim[k→∞]C_k)を
求めよ。
P_X(C_k)とlim[k→∞]P_X(C_k)=P_X(lim[k→∞]C_k)を求めよ。
=============

lim[k→∞]C_k={x;2<x≦3}
P_X(lim[k→∞]C_k)=∫[2～3]e^-xdx=[-e^-x]^3_2=-e^-3+e^-2
P_X(C_k)=∫[2-1/k～3]e^-xdx=[-e^-x]^3_(2-1/k)=-e^-3+e^(1/k-2)
と解いてみたのですが正しいでしょうか?

あと、lim[k→∞]P_X(C_k)=P_X(lim[k→∞]C_k)はどうやって求めればいいのでしょうか?

因みに確率集合関数なるものは調べてみましたら
「関数Pが、次の3つの公理を満たす時、確率集合関数と呼ぶ。すなわち基礎空間Ωの
部分集合Eに対する3つの条件が確率の公理である。
(1)P(E)≧0
(2)P(Ω)＝1
(3)P(E_1ＵE_2ＵE_3・・・)＝P(E_1)＋P(E_2)＋P(E_3)＋・・・
ただし、ここでE_1,E_2,E_3,・・・は互いに排反な事象である。すなわち任意のi≠jに
対して、E_i∩E_j＝空集合φである」
というものです。

回答No.3

noname#50894 · ベストアンサー

>> lim[k→∞]C_k=∩C_k
>> で与えられます。
>しつこくすいません。これは定義なのでしょうか?

集合（列）：C_1,C_2,…,C_k,…
について、
最大極限集合：limsupC_k=∩［i≧1］∪［j≧i］C_j
最小極限集合：liminfC_k=∪［i≧1］∩［j≧i］C_j
を定義します。

一般には、liminfC_k⊂limsupC_kが成立する。
特に、liminfC_k=limsupC_kのとき、これをlim[k→∞]C_kと表す。

更に、C_1⊃C_2⊃…⊃C_k⊃…の場合は、 lim[k→∞]C_k=∩C_k
です。

基礎的な集合論について触れた本について、眼を通されることをお勧めします。
ご紹介のURLでも触れています。特に、“C_1⊃C_2⊃…⊃C_k⊃…の場合”については、
定理：減少列の極限

>> 全てのkについて、2∈{x;2-1/k<x≦3}=C_k
>?? これは証明出来るのでしょうか?

全てのkについて、2-1/k<2≦3　が成立しますね。
よって、、2∈{x;2-1/k<x≦3}=C_kです。

参考URL：

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Sets/LimitOfSets.htm

お礼

改めて落ち着いて考えたらその通りでした。
どうもお騒がせ致しました。

回答No.2

noname#50894

>>lim[k→∞]C_k={x;2<x≦3}
>> ではなく、lim[k→∞]C_k={x;2≦x≦3}でしょう。

>えっ!? それは何故ですか?

C_k={x;2-1/k<x≦3},(k=1,2,3,…)とする時
C_1⊃C_2⊃…⊃C_k…
は減少列であり
lim[k→∞]C_k=∩C_k
で与えられます。

全てのkについて、2∈{x;2-1/k<x≦3}=C_kから、2∈∩C_k
{x;2<x≦3}⊂∩C_kはあきらかですね。
よって、{x;2≦x≦3}⊂∩C_k

逆に、∩C_k⊂{x;2≦x≦3}については、
2未満の数が∩C_kに属さないことを確認します。

#y=2-ε(ε>0)とおくと、
#k_0ε>1となる自然数k_0が存在し、y=2-ε<2-1/k_0
#2-1/k_0は、C_(k_0)の元でない。
#従って、2-1/k_0より小さい、2-εはC_(k_0)の元でない。
#よって、2-εは∩C_kの元でない。

このことから、∩C_k⊂{x;2≦x≦3}

即ち、∩C_k={x;2≦x≦3}

お礼

> lim[k→∞]C_k=∩C_k
> で与えられます。

しつこくすいません。これは定義なのでしょうか?

> 全てのkについて、2∈{x;2-1/k<x≦3}=C_k

?? これは証明出来るのでしょうか?

回答No.1

noname#50894

>lim[k→∞]C_k={x;2<x≦3}
ではなく、lim[k→∞]C_k={x;2≦x≦3}でしょう。
あとは合っていると思います。

>あと、lim[k→∞]P_X(C_k)=P_X(lim[k→∞]C_k)はどうやって求めればいいのでしょうか?
P_X(C_k)=-e^-3+e^(1/k-2)から、lim[k→∞]P_X(C_k)=-e^-3+e^(-2)
この値は、P_X(lim[k→∞]C_k)=-e^-3+e^-2
に一致しますね。

お礼

>>lim[k→∞]C_k={x;2<x≦3}
> ではなく、lim[k→∞]C_k={x;2≦x≦3}でしょう。

えっ!? それは何故ですか?

> あとは合っていると思います。

有難うございます。

>>あと、lim[k→∞]P_X(C_k)=P_X(lim[k→∞]C_k)は
>>どうやって求めればいいのでしょうか?
> P_X(C_k)=-e^-3+e^(1/k-2)から、lim[k→∞]P_X(C_k)=-e^-3+e^(-2)
> この値は、P_X(lim[k→∞]C_k)=-e^-3+e^-2
> に一致しますね。

確かに一致しました。