p>0に対してガンマ関数Γ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dxとお

質問

p>0に対してガンマ関数Γ(p)=∫(e^-x)(x^p-1)dxとおく。(0→∞)
(1)p>0に対してΓ(p+1)=pΓ(p)を示せ。
(2)nを自然数としてΓ(n)を求めよ。
詳しく教えてください。 よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

タイピング簡略のためΓ=Gとする

普通、この手の問題は、まずGが収束していることを示す必要あるのだけど・・・。

(1)部分積分するだけ。
G(p+1)
=int[0,∞]exp(-x)x^pdx
=[-exp(-x)x^p][0,∞]+int[0,∞]exp(-x)px^{p-1}dx
=pG(p)

(2)
普通に積分してG(1)=1.
G(n)=(n-1)G(n-1)=(n-1)(n-2)G(n-2)=...=n!G(1)=n!.

お礼

回答ありがとうございました。
わかりました！