なぜe^xの後にdxがつくのかよくわかりません。

質問

f(x)=e^x+sin(x)-xを積分すると、∫f(x)dx=∫(e^x+sin(x)-x)dxとなり
途中で=∫e^xdx+∫sin(x)-∫xdxとなるのですが、なぜe^xの後にdxがつくのかよくわかりません。

どなたかご教授願います。

回答No.1

noname#231195 · ベストアンサー

関数f(x)をxで積分する場合に、
∫f(x)dx
と書きます。
ですからe^xを積分するときは
∫e^xdx
と書きます。
そういう風に書きましょうという約束事です。

ちなみにsin(x)の部分は、sin(x)を積分するのですから
∫sin(x)dx
と書かなければなりません。
あなたが書き写し間違えたのでなければ、その元の記述に欠落があります。

∫f(x)dx=∫(e^x+sin(x)-x)dx=∫e^xdx+∫sin(x)dx-∫xdx
関数の和を取ってから積分しても、個々の関数を積分してから和をとっても同じことなので、ここでは計算しやすいようにバラバラにしたのです。

回答No.2

info222_

f(x)=g(x)+h(x)+k(x)とするとき
積分の線形性の公式
　∫ f(x)dx= ∫ { g(x)+h(x)+k(x) } dx= ∫ g(x) dx + ∫ h(x) dx + ∫ k(x) dx
が成り立ちます。

この公式に
　g(x)=e^x, h(x)=sin(x), k(x)=-x を当てはめれば

　∫ f(x)dx= ∫ { e^x +sin(x) - x } dx= ∫ e^x dx + ∫ sin(x) dx - ∫ x dx

が得られます。