確率密度関数： p(x) = {1/x^2 (x>=1), 0 (ot

質問

確率密度関数： p(x) = {1/x^2 (x>=1), 0 (other)} の平均値？

上記の確率密度関数の分布の平均値 E[X] を自力で求めようと試みたところ、

E[X] = ∫[∞,-∞]xp(x)dx = ∫[∞,1]x・(1/x^2)dx + ∫[1,-∞]x・0dx
=∫[∞,1](1/x)dx = [ln(x)][∞,1] = ∞

となってしまい、平均値が∞という結果となり、少し違和感があります（平均値が1を超える結果を今まで見たことがないので）。

一方で、数学が得意でない私にとって平均値：∞が絶対に変だという自信もありません。

私が間違った計算方法をしているのかもしれませんが、確率密度関数の平均を求める公式（下記URL）：
(http://www.nyanya.sakura.ne.jp/es/math/kaku001.html)
を適用できると思い、これを用いて計算しました。

どなたか私の計算結果（計算方法も含めて）の正誤の判断をして頂ける方、ご回答の程よろしくお願い致します。

回答No.2

gotouikusa · ベストアンサー

2母数Pareto分布 Pareto(a,b) で、a=b=1 のケースです。
Pareto(a,b) については添付画像をご参照ください。
info22さんがおっしゃったようにこの場合はE (X) が存在せず、質問者様の結果はあっていると思います。
＞＞平均値が1を超える結果を今まで見たことがないので）。
それは誤解です。例えば正規分布N(μ,σ^2) の平均はμで、―∞＜μ＜∞ の値はいずれも可能です。
＞＞平均値：∞が絶対に変だという自信もありません。
平均(期待値)は1つの無限級数の和または広義積分の結果ですから、収束しないことは十分ありえます。

例１：Cauchy 分布 C(0,1) , or 自由度1のt分布
密度 f(x) = 1/ {π ( 1+ x^2 ) } ( ―∞＜x＜∞)
E (X) : 定まらない, Var(X)=∞

例２：第2種ベータ分布 Beta2(p,q),
密度 f(x)= { 1 / B(p,q) } *{ x^ ( p-1) / (1+x) ^(p+q) }　（0＜x＜∞）
p=q=1 の時，やはり E(X) = ∞

以上ご参考になりましたら幸いです。

お礼

添付画像も参考になり、非常に助かりました。
平均値が1を超える結果も普通にあるのですね。
もっと問題に触れないといけないなと思いました。
ありがとうございました！

回答No.1

info22_

>E[X] = ∫[∞,-∞]xp(x)dx = ∫[∞,1]x・(1/x^2)dx + ∫[1,-∞]x・0dx
>=∫[∞,1](1/x)dx = [ln(x)][∞,1] = ∞

普通、定積分の範囲は[下限,上限]の順で書くようにしてください。
この場合の平均値は∞になりますので合っています。

お礼

定積分の範囲表記は、以後気をつけたいと思います。
分りにくい表記であったにも関わらず、ご回答して頂きありがとうございます。
合っているという事で助かりました。