∫ x^2 e^(3x) dx

質問

∫ x^2 e^(3x) dx = (x^2 )[1/3 e ^ (3x)] - [1/3 e ^ (3x) ](2x) ~ と続くのですがこれはこの公式を使っています→　　∫ u (dv/dx) dx = uv - ∫ v (du/dx) dx

わからないのはe^(3x)が　1/3　 e ^ (3x)となる事です。例えば y=3e^（x^2）
dy/dx = [ 3e^（x^2）] (2x) = 6x　e^（x^2） となります。
なので　∫ x^2 e^(3x)dx = (x ^2 )[ 3 e^(3x) ] - [ 3 e^(3x) ](2x) ~　と考えるのです。
どこを間違って考えているのか指摘して頂けますか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>わからないのはe^(3x)が　(1/3) e ^ (3x)となる事です。

つまり　∫e^(3x) dx=(1/3)e^(3x) +C (Cは積分定数)　ですね。

微分と積分を混同してませんか？
　d(e^(3x))/dx=e^(3x)*(3x)'=3e^(3x)
両辺を3で割り、xで積分すると
　(1/3)e^(3x)+C=∫e^(3x) dx
左辺と右辺を入れ替えると
　∫e^(3x) dx=(1/3)e^(3x) +C (Cは積分定数)　

次のように考えてもいいでしょう。
積分は微分の逆操作なので, 積分を微分すれば、微分の式にもどる。
つまり、
　{(1/3)e^(3x)}'=(1/3)e^(3x)*(3x)'=e^(3x)
なので　積分の前に　1/3がつくのです。

>例えば y=3e^（x^2）
>dy/dx = [ 3e^（x^2）] (2x) = 6x　e^（x^2） となります。
>なので
>　∫ x^2 e^(3x)dx = (x ^2 )[ 3 e^(3x) ] - [ 3 e^(3x) ](2x) ~

e^(3x)の積分は(1/3)e^3x であって、　3xe^(3x)（これは微分）ではないです。

正しくは
∫ x^2 e^(3x)dx = (x ^2 )[ (1/3)e^(3x) ] - ∫[(1/3) e^(3x) ](2x) dx

>　と考えるのです。
どこを間違って考えているのか指摘して頂けますか？

積分すべきところを微分してます。

お礼

本当に詳しく書いて頂き有難うございます。

こちらで聞いて助かりました、わかりました、凄い勘違いをしていました。
私はこの公式→ u (dv/dx) dx の　dv/dx　のところは微分するんだと思っていました。
そうじゃあなく既に微分してあるのを積分して元に戻すのですね。

わかって良かった、、有難うございました！

回答No.2

asuncion

∫x^2・e^(3x)dx

∫fg'dx = fg - ∫f'gdx を使う。
f = x^2, g' = e^(3x)
e^(3x)を積分する必要がある。つまり、∫e^(3x)dxを求める。
∫e^(3x)dx
において、t = 3xとおく。
dt/dx = 3より、dx = dt/3
∫e^(3x)dx
= ∫(e^t/3)dt
= e^t/3 + C
tを元に戻して、∫e^(3x)dx = e^(3x)/3 + C
g = e^(3x)/3

∫x^2・e^(3x)dx
= x^2・e^(3x)/3 - ∫2x・e^(3x)/3 dx

お礼

こちらで聞いて助かりました、わかりました、凄い勘違いをしていました。
私はこの公式→ u (dv/dx) dx の　dv/dx　のところは微分するんだと思っていました。
そうじゃあなく既に微分してあるのを積分して元に戻すのですね。

私にわかる様に分かり易く説明して頂き本当に有難うございました。